Capítulo 3 — Cinemática

00Antes de Começar — O que é Cinemática?

Cinemática = Descrição do Movimento

Cinemática descreve como as coisas se movem, sem se preocupar com por que (isso é Newton, cap.4).

Analogia: cinemática é como o GPS do Waze — ele te diz posição, velocidade e aceleração. Ele não se importa se é o motor, a gravidade ou um empurrão que está causando o movimento.

Grandezas do Movimento

Posição (x): onde está (metros)
Velocidade (v): quão rápido e pra onde (m/s)
Aceleração (a): como a velocidade está mudando (m/s²)
Tempo (t): quando (segundos)

Aceleração é o conceito mais difícil: é a "velocidade da velocidade". Se a = 3 m/s², sua velocidade aumenta 3 m/s a cada segundo.

Pré-requisitos

• Vetores (cap.2) — decomposição em x e y
• Equação do 2º grau (Bhaskara) — aparece em queda livre e projétil
• Trigonometria — seno e cosseno pra decompor velocidades

Três tipos de problema

1. MRUV em 1D: carro, foguete, queda livre — uma direção só (3.6-3.14)
2. Projétil horizontal: elétron, bola caindo — 2D com v₀ horizontal (3.15)
3. Projétil oblíquo: canhão, bola de baseball — 2D com ângulo (3.16-3.20)

01As 4 Equações do MRUV

As 4 equações mágicas

Quando a aceleração é constante (uniforme), TUDO se resolve com 4 equações. Cada uma envolve 4 das 5 variáveis (v₀, v, a, t, x), e deixa uma de fora:

Equação	Falta	Quando usar
v = v₀ + at	x	Não precisa da posição
x = v₀t + ½at²	v	Não precisa da vel. final
v² = v₀² + 2ax	t	Não precisa do tempo (Torricelli)
x = (v₀+v)/2 × t	a	Não precisa da aceleração

O Fluxo Universal

1. Liste os dados (v₀, v, a, t, x) — identifique 3 conhecidos
2. Identifique o que quer encontrar
3. Escolha a equação que tem esses 4 (3 conhecidos + 1 incógnita)
4. Isole e calcule

Se seguir esse roteiro, resolve qualquer problema de MRUV!

⚠️ "Parte do repouso"

"Repouso" = v₀ = 0. Simplifica MUITO as equações:
• v = at (v₀ sumiu)
• x = ½at² (primeiro termo sumiu)
• v² = 2ax (v₀² sumiu)

Sempre que ler "parte do repouso", "começa parado" ou "é solto": v₀ = 0!

⚠️ Sinais importam!

Escolha uma direção como positiva e mantenha consistência:
• Pra cima = + → gravidade = −9,8 m/s²
• Pra baixo = + → gravidade = +9,8 m/s²

O sinal da resposta indica a direção: v = −18 m/s → está indo pra baixo (se cima é +).

02Queda Livre e Lançamento Vertical

Queda Livre

a = g = 9,8 m/s² (pra baixo) v₀ = 0 (se "solto" ou "largado")

É um MRUV onde a aceleração é a gravidade. Tudo que já sabe de MRUV vale aqui — só troca "a" por "g".

Lançamento pra cima

A bola sobe (desacelera), para no topo (v=0 por um instante), e desce (acelera). As equações cobrem tudo de uma vez! Não precisa separar em fases.

No topo: v = 0 → h_max = v₀²/(2g)
Tempo até o topo: t = v₀/g
Simetria: tempo subindo = tempo descendo (se volta ao mesmo ponto)

Bhaskara aparece!

Quando y ≠ 0 (a bola não volta ao ponto de partida), a equação y = v₀t − ½gt² vira equação do 2º grau. Duas raízes:
• Uma positiva (tempo real) ✓
• Uma negativa (tempo antes do lançamento) ✗ descarta
• Ou duas positivas (subindo e descendo pela mesma altura) → escolha pelo contexto!

Deslocamento ≠ Distância

Uma bola lançada pra cima a 10 m/s: sobe ~5m, desce ~5m. Distância percorrida = 10m. Mas deslocamento = 0 (voltou ao ponto de partida).

As equações trabalham com deslocamento, não distância. Cuidado!

03Encontro e Ultrapassagem

A condição de encontro

x₁(t) = x₂(t) "mesmo lugar, mesmo instante"

Escreva a equação de posição de cada objeto separadamente. Depois iguale: x₁ = x₂. O tempo que sai é quando se encontram. Substitua de volta pra achar onde.

Estratégia

1. Escrever x(t) de cada objeto
2. Igualar: x₁(t) = x₂(t)
3. Resolver pra t
4. Substituir de volta

Funciona pra: carros na estrada, bolas no ar, foguetes, qualquer coisa!

Resultado elegante

Quando um objeto acelera do repouso e o outro tem v constante, no momento da ultrapassagem a velocidade do que acelera é exatamente o dobro da velocidade do outro! Porque a vel. média = vel. do outro.

04Projétil 2D — Lançamento Oblíquo

O Princípio Fundamental

Os movimentos horizontal e vertical são INDEPENDENTES. Um não afeta o outro! São dois problemas de 1D rodando em paralelo, conectados apenas pelo tempo t.

Horizontal: velocidade constante (sem aceleração, sem gravidade horizontal).
Vertical: acelerado pela gravidade (MRUV com a = −g).

Decompor v₀

v₀ₓ = v₀ cosθ (horizontal) v₀ᵧ = v₀ sinθ (vertical)

Primeiro passo de todo problema de projétil: decompor a velocidade inicial em x e y. Depois, tratar cada eixo separadamente.

O Fluxo do Projétil

Se sabe x (distância horizontal):
horizontal → t = x/v₀ₓ (direto!) → vertical → achar y

Se sabe y (altura):
vertical → Bhaskara → t → horizontal → achar x

Sempre: resolver um eixo pra achar t, usar t no outro eixo.

Fórmula do Alcance (mesmo nível)

R = v₀² sin(2θ) / g

Só vale quando sai e chega na mesma altura!
• Alcance máximo: θ = 45°
• Dois ângulos dão mesmo alcance: θ e (90°−θ)
• sin(2θ) é atalho pra 2sinθcosθ

05Macetes e Erros Comuns

Macete: Torricelli (v²=v₀²+2ax)

A equação sem tempo! Use quando não tem t e não quer achar t. Muito útil pra: frenagem, queda livre até certa altura, velocidade após percorrer distância d.

Macete: Velocidade Média

x = (v₀+v)/2 × t → a equação "esquecida". Muito rápida quando tem v₀, v e t mas não quer calcular a. Vel. média = média aritmética das velocidades (só com a constante!).

⚠️ Erro: metade do tempo ≠ metade da distância

Com aceleração, a posição depende de t². Em metade do tempo, percorreu apenas 1/4 da distância! O objeto anda pouco no início (devagar) e muito no final (rápido).

⚠️ Erro: no topo do projétil, v ≠ 0!

No ponto mais alto, vᵧ = 0 (vertical parou). Mas vₓ ≠ 0 (horizontal continua)! O projétil NÃO para no topo — ele ainda se move horizontalmente.

3.6Carro parte do repouso — aceleração e distância.▾

Enunciado

Carro parte do repouso e acelera até 25 m/s em 8 s. (a) Aceleração? (b) Distância?

O fluxo: listar dados → escolher equação

v₀=0, v=25, t=8. (a) quer a → equação sem x: v=v₀+at. (b) quer x → equação com tudo: x=(v₀+v)/2×t.

Resolução

(a) a = (v−v₀)/t = (25−0)/8 = 3,13 m/s² → a cada segundo, velocidade sobe 3,13 m/s

(b) x = (0+25)/2 × 8 = 12,5 × 8 = 100 m
Conferindo: x = ½at² = ½(3,13)(64) = 100 ✓

Resposta

(a) 3,13 m/s² · (b) 100 m

3.7Foguete sobe 20.000 m em 60 s — velocidade em 30 s?▾

Enunciado

Foguete parte do repouso, sobe 20.000 m em 60 s. (a) Vel. média? (b) Aceleração? (c) Velocidade e altura em 30 s?

Resolução

(a) v̄ = d/t = 20000/60 = 333,3 m/s
(b) y = ½at² → a = 2y/t² = 40000/3600 = 11,11 m/s²
(c) v(30) = at = 11,11×30 = 333,3 m/s (= vel. média! Não é coincidência)
y(30) = ½(11,11)(900) = 5000 m (= ¼ do total, não metade!)

Resposta

(a) 333,3 m/s · (b) 11,11 m/s² · (c) v=333,3 m/s, y=5000 m

Insight

Metade do tempo ≠ metade da distância! Em 30 s (metade de 60 s), o foguete percorreu só 5000 m (¼ de 20000 m). Porque x ∝ t² — o foguete anda mais no final, quando está rápido.

3.8Bola lançada pra cima do prédio — Bhaskara e duas raízes!▾

Enunciado

Garoto no prédio (10 m) lança bola pra cima com 12 m/s. Tempo no ar e velocidade ao chegar no chão?

Referencial: origem no garoto, cima = +

y₀=0 (garoto), y_final = −10 (chão está 10m abaixo), v₀=+12 (pra cima), g=−9,8. A equação y = v₀t + ½at² vira equação do 2º grau → Bhaskara!

Resolução

Tempo: −10 = 12t − 4,9t² → 4,9t² − 12t − 10 = 0
Δ = 144+196 = 340 → √Δ = 18,44
t₁ = (12+18,44)/9,8 = 3,11 s ✓ · t₂ = (12−18,44)/9,8 = −0,66 s ✗ (negativo)

Velocidade: v = 12 + (−9,8)(3,11) = 12 − 30,48 = −18,44 m/s (negativo = pra baixo ✓)
Conferindo: v² = 12² + 2(−9,8)(−10) = 144+196 = 340 → v = −√340 = −18,44 ✓

Resposta

t ≈ 3,11 s · v ≈ −18,44 m/s (pra baixo)

Insight

A raiz negativa não é lixo! Ela diz: "se a bola já estivesse em movimento antes, teria passado por y=−10m em t=−0,66s". Fisicamente descartamos, mas matematicamente faz sentido. Também: deslocamento (−10m) ≠ distância percorrida (7,35+17,35=24,7m).

3.9Carro bate em árvore — desaceleração de 64g em 40ms!▾

Enunciado

Carro a 25 m/s bate em árvore, amassa 0,5 m. Desaceleração e tempo?

Resolução

Desaceleração (Torricelli: sem t): a = (v²−v₀²)/(2x) = (0−625)/1 = −625 m/s² ≈ 64g!
Tempo: t = (v−v₀)/a = −25/(−625) = 0,04 s = 40 ms (menos que um piscar!)

Resposta

a = −625 m/s² (≈64g) · t = 40 ms

Insight

Física salva vidas! a = −v₀²/(2x). Mais deformação (x maior) = menos aceleração = mais seguro. Zonas de deformação, airbags e cintos aumentam x, reduzindo a força sobre os passageiros.

3.10Carro entre dois pontos — velocidade média é sua amiga.▾

Enunciado

Carro percorre 50 m entre dois pontos em 5 s. No 2º ponto: v=16 m/s. (a) Aceleração? (b) Velocidade no 1º ponto?

Resolução

(b) primeiro (vel. média: x = (v₀+v)/2 × t):
50 = (v₀+16)/2 × 5 → v₀ = 2(50)/5 − 16 = 20−16 = 4 m/s
(a) a = (v−v₀)/t = (16−4)/5 = 2,4 m/s²

Resposta

(a) 2,4 m/s² · (b) 4,0 m/s

Macete

A equação da velocidade média x=(v₀+v)/2×t é subestimada! Quando tem x, t e uma velocidade, ela dá a outra direto — sem precisar de aceleração.

3.11Bola cai do telhado e passa pela janela — dividir em trechos.▾

Enunciado

Bola solta do telhado leva 0,2 s pra passar por janela de 2 m. Distância do telhado ao topo da janela?

Dividir em dois trechos, conectar por v₁

Trecho 1: telhado → topo da janela (h=?, v₀=0). Trecho 2: janela (2m em 0,2s). Resolve trecho 2 pra achar v₁ (velocidade no topo da janela), depois usa v₁ pra achar h.

Resolução

Trecho 2 (janela): 2 = v₁(0,2) + ½(9,8)(0,04) → v₁ = (2−0,196)/0,2 = 9,02 m/s
Trecho 1 (telhado→janela): v₁² = 2gh → h = 9,02²/(2×9,8) = 4,15 m

Resposta

h ≈ 4,15 m

Insight

Dividir em trechos é a estratégia quando um trecho dá informação pra resolver o outro. v₁ é a "ponte" que conecta os dois trechos. Esse raciocínio aparece em muitos problemas!

3.12Duas bolas da ponte — caem no mesmo instante.▾

Enunciado

Bola 1 solta de ponte (60m). 1s depois, bola 2 lançada pra baixo com v₀. Chegam juntas. (a) Tempos? (b) v₀ da bola 2? (c) Velocidades na água?

Resolução

(a) Bola 1: 60 = ½(9,8)t₁² → t₁ = √(120/9,8) = 3,50 s · t₂ = 3,50−1 = 2,50 s
(b) Bola 2: 60 = v₀(2,5) + ½(9,8)(6,25) → v₀ = (60−30,6)/2,5 = 11,76 m/s
(c) v₁ = 9,8(3,50) = 34,3 m/s · v₂ = 11,76+9,8(2,50) = 36,3 m/s

Resposta

(a) t₁=3,50s, t₂=2,50s · (b) 11,76 m/s · (c) 34,3 e 36,3 m/s

3.13Moto acelera e ultrapassa carro — velocidade = dobro!▾

Enunciado

Moto parte do repouso (a=20m/s²). Carro a 120 m/s constante sai no mesmo instante. Onde a moto ultrapassa?

Igualar posições: x_moto = x_carro

x_moto = ½(20)t² = 10t². x_carro = 120t. Igualar: 10t² = 120t → t(10t−120) = 0 → t=0 ou t=12s.

Resolução

(a) Distância: x = 120×12 = 1440 m
(b) Velocidade: v_moto = 20×12 = 240 m/s = 2 × 120 = dobro da vel. do carro!

Resposta

(a) 1440 m · (b) 240 m/s (= 2×v_carro, sempre!)

Insight

Sempre o dobro! No momento da ultrapassagem, a vel. do que acelera = 2×vel. do que é constante. Porque a vel. média da moto (0 a 2v)/2 = v = vel. do carro. Percorreram mesma distância no mesmo tempo!

3.14Vaso cai + pedra sobe — t² cancela! Movimento relativo.▾

Enunciado

Garota solta vaso de 50m. Garoto lança pedra pra cima com 30 m/s. (a) Altura do encontro? (b) Tempo? (c) v_min da pedra?

O t² cancela porque ambos sofrem a mesma gravidade!

y_vaso = 50−4,9t². y_pedra = 30t−4,9t². Igualar: 50−4,9t² = 30t−4,9t² → o −4,9t² cancela dos dois lados! Fica 50 = 30t → t = 50/30. É como se a gravidade não existisse no referencial relativo.

Resolução

(b) Tempo: t = 50/30 = 1,67 s
(a) Altura: y = 50−4,9(1,67²) = 50−13,66 = 36,4 m
(c) v_min: encontro deve ser acima do solo (y≥0):
50−4,9(50/v₀)² ≥ 0 → v₀ ≥ √(4,9×2500/50) = √245 = 15,65 m/s

Resposta

(a) 36,4 m · (b) 1,67 s · (c) v_min = 15,65 m/s

3.15Elétron horizontal — queda menor que um átomo!▾

Enunciado

Elétron a vₓ=4×10⁶ m/s horizontal. Quanto cai ao percorrer 10m horizontal?

Movimentos horizontal e vertical são INDEPENDENTES

Primeiro problema de 2D! O elétron faz duas coisas ao mesmo tempo: move pra frente (constante) e cai (gravidade). Horizontal dá o tempo, vertical dá a queda.

Resolução

Tempo (horizontal): t = 10/(4×10⁶) = 2,5×10⁻⁶ s
Queda (vertical): y = ½gt² = 4,9(6,25×10⁻¹²) = 3,06×10⁻¹¹ m

Isso é menor que um átomo (~10⁻¹⁰ m)! A gravidade é desprezível pra partículas subatômicas.

Resposta

y ≈ 3×10⁻¹¹ m (menor que um átomo!)

3.16Bola no telhado — duas raízes positivas (subindo e descendo)!▾

Enunciado

Garoto lança bola a 37° com 15 m/s. Pousa no telhado a 3m de altura. Distância horizontal?

Decompor v₀, resolver vertical pra t, horizontal pra x

v₀ₓ = 15cos37° = 11,98 m/s · v₀ᵧ = 15sin37° = 9,03 m/s.
Vertical: 3 = 9,03t − 4,9t² → Bhaskara → duas raízes positivas! t₁=0,43s (subindo) e t₂=1,41s (descendo). "Pousa" → está descendo → use t₂.

Resolução

4,9t²−9,03t+3=0 → Δ=22,74 → t₁=0,43s, t₂=1,41s
x = v₀ₓ × t₂ = 11,98 × 1,41 = 16,86 m

Resposta

x ≈ 16,86 m

Insight

Duas raízes positivas = a parábola cruza y=3m duas vezes (subindo e descendo). O contexto diz qual escolher: "pousa" = descendo = t₂.

3.17Bola na parede — problema inverso do 3.16!▾

Enunciado

Mesma bola do 3.16 (37°, 15 m/s) atinge parede a 16m. A que altura?

Agora sabe x, quer y — horizontal dá t direto!

3.16: sabia y, queria x (vertical→t→horizontal). 3.17: sabe x, quer y (horizontal→t→vertical). Quando sabe x, t sai direto sem Bhaskara!

Resolução

Tempo (direto!): t = 16/11,98 = 1,336 s
Altura: y = 9,03(1,336) − 4,9(1,336²) = 12,06 − 8,74 = 3,32 m

Resposta

y ≈ 3,32 m

3.18Canhão — fórmula do alcance R = v₀²sin2θ/g.▾

Enunciado

Canhão com v₀=500 m/s quer acertar alvo a 20.000 m no mesmo nível. Qual ângulo?

Fórmula do alcance (mesmo nível)

R = v₀²sin(2θ)/g — só vale quando saída e chegada estão na mesma altura! Vem de combinar as equações horizontal e vertical. O sin(2θ) é atalho pra 2sinθcosθ.

Resolução

sin2θ = Rg/v₀² = (20000)(9,8)/250000 = 0,784
2θ = arcsin(0,784) = 51,6° → θ₁ = 25,8°
Mas sin(180°−51,6°) = sin(128,4°) = 0,784 também! → θ₂ = 64,2°

Note: 25,8° + 64,2° = 90° → ângulos complementares! Alcance máximo: θ=45°, R_max = v₀²/g = 25.510 m.

Resposta

θ₁ ≈ 25,8° ou θ₂ ≈ 64,2° (complementares!)

Insight

Dois ângulos complementares sempre dão o mesmo alcance! Ângulo baixo (rápido, rasante) vs alto (lento, parabólico). Na prática, artilharia usa o ângulo baixo (chega mais rápido, menos vento).

3.19Canhão no morro — simetria quebrada, 54 m além.▾

Enunciado

Mesmo canhão do 3.18, agora no topo de morro de 30m. Quão longe além do alvo cai?

A fórmula do alcance NÃO vale mais!

Saída e chegada em alturas diferentes → não pode usar R=v₀²sin2θ/g. Volta ao método geral: equações x e y separadas, Bhaskara pro tempo.

Resolução

v₀ₓ=450,2 · v₀ᵧ=217,6 · y_solo = −30m
−30 = 217,6t − 4,9t² → t = 44,54 s (vs 44,41 s sem morro)
R_novo = 450,2 × 44,54 = 20.054 m → Δx ≈ 54 m além do alvo

Resposta

Δx ≈ 54 m além (apenas 0,27% de alcance extra pra 30m de altura)

3.20Baseball — jogador corre pra pegar a bola (5 passos!).▾

Enunciado

Bola rebatida a 30° com 30 m/s de 1m de altura. Jogador a 100m reage 0,5s depois. Velocidade pra pegar a bola?

5 passos sequenciais

1. Quando cai? (vertical→Bhaskara) 2. Onde cai? (horizontal) 3. Quanto correr? (subtração) 4. Quanto tempo tem? (total−reação) 5. Quão rápido? (d/t)

Resolução

v₀ₓ=25,98 · v₀ᵧ=15 · y₀=1m
1. Quando: 4,9t²−15t−1=0 → t = 3,13 s
2. Onde: x = 25,98(3,13) = 81,2 m
3. Quanto: d = 100−81,2 = 18,8 m (corre em direção ao home)
4. Tempo: 3,13−0,5 = 2,63 s
5. Velocidade: v = 18,8/2,63 = 7,16 m/s ≈ 25,8 km/h (sprint forte, mas possível!)

Resposta

v ≈ 7,16 m/s (≈ 25,8 km/h)

Insight

Decompor problemas grandes: 5 passos, mas nenhum é difícil sozinho. A habilidade é enxergar a sequência. Também: altura inicial y₀=1m muda a equação! E tempo de reação reduz o tempo disponível.