Capítulo 4 — Leis de Newton

00Antes de Começar — De Cinemática pra Dinâmica

Cinemática vs Dinâmica

Cinemática (cap.3): descreve COMO as coisas se movem (posição, velocidade, aceleração). Não pergunta por quê.

Dinâmica (cap.4): explica POR QUE as coisas se movem. A resposta: forças! Newton descobriu que forças causam acelerações. F = ma é a equação mais importante da física.

Analogia: motorista vs mecânico

Cinemática = motorista: sabe a velocidade, posição, aceleração. Mas não sabe o que causa.
Dinâmica = mecânico: sabe que o motor (força) causa a aceleração. Se entende as forças, prevê todo o movimento.

Newton conectou os dois mundos: F = ma.

Pré-requisitos

• Vetores (cap.2): forças são vetores! Decompor em x e y.
• Cinemática (cap.3): v = v₀+at, etc. Newton dá a aceleração, cinemática dá o movimento.
• Trigonometria: seno e cosseno pra decompor forças em planos inclinados.

O que vamos aprender

1. As 3 Leis de Newton (a base de tudo)
2. Forças: peso, normal, atrito, tensão
3. Plano inclinado (seno vs cosseno)
4. Polias e sistemas (método da soma)
5. Situações especiais (elevador, pêndulo no carro)

Este capítulo é o coração da mecânica!

01As Três Leis de Newton

1ª Lei — Inércia

ΣF⃗ = 0 → v = constante

Um objeto em equilíbrio (parado ou v constante) tem força resultante zero.

Analogia: um livro na mesa fica parado porque as forças se cancelam (peso pra baixo, normal pra cima). Se você está num carro a 100 km/h e solta o volante, continua a 100 km/h (ignorando atrito).

"v constante" é mina de ouro! Se o enunciado diz isso, a=0 e você pode extrair μ, T ou F.

2ª Lei — F = ma

ΣF⃗ = m·a⃗

A força resultante (soma de todas as forças) = massa × aceleração.

Cuidado #1: usa massa (kg), NÃO peso (N). O peso (mg) aparece como uma das forças, não dentro de F=ma.

Cuidado #2: é a resultante, não uma força individual. Some todas as forças primeiro, depois iguale a ma.

Analogia: empurrar carrinho de supermercado vazio (pouca massa) vs cheio (muita massa). Mesma força, diferentes acelerações.

3ª Lei — Ação e Reação

Toda força tem uma reação igual e oposta, no outro corpo.

Se A empurra B com 10N→, B empurra A com 10N←. As forças atuam em corpos diferentes!

Analogia: quando você empurra a parede, a parede empurra você de volta. Quando pula, seus pés empurram o chão pra baixo, e o chão empurra você pra cima.

Erro comum: ação e reação NÃO se cancelam porque atuam em corpos diferentes!

⚠️ Massa vs Peso

Massa (m): quantidade de matéria. Medida em kg. NÃO muda com o planeta.
Peso (W): força da gravidade. W = mg. Medido em N. MUDA com o planeta.

Na Lua (g=1,6): mesma massa, peso 6× menor!

F = ma (usa massa). O peso aparece como uma das forças no diagrama.

02As 4 Forças Fundamentais do Cap.4

Peso (W = mg)

W = mg (sempre pra BAIXO)

Força gravitacional. Sempre aponta pro centro da Terra (pra baixo). g ≈ 9,8 m/s². É a única força que existe "sozinha" — as outras precisam de contato.

Normal (N)

N ⊥ superfície (perpendicular)

Força que a superfície exerce perpendicular a ela. É a "reação" da superfície ao peso.

N ≠ mg sempre!
• Horizontal sem forças extras: N = mg ✓
• Plano inclinado: N = mg cosθ (< mg!)
• Força puxando pra cima: N = mg − F sinθ (< mg!)
• Elevador acelerando pra cima: N = m(g+a) (> mg!)

Atrito (f = μN)

f = μ·N

Se opõe ao movimento (ou à tentativa de movimento). Depende da normal, não do peso diretamente!

μ = coeficiente de atrito (0 = sem atrito, ~1 = muito áspero).

Direção: sempre contra o movimento. Se o bloco se move pra direita → atrito pra esquerda.

Tensão (T)

Força transmitida por cordas e cabos. A corda "puxa" dos dois lados.

Em polia ideal (sem massa, sem atrito):
• Mesma tensão T dos dois lados
• Mesma magnitude de aceleração a nos blocos
• Mas as direções podem ser diferentes (um sobe, outro desce)

03Seno vs Cosseno — A Regra de Ouro

A Regra

Cosseno → componente no eixo onde o ângulo está encostado (adjacente).
Seno → componente no eixo oposto (longe do ângulo).

Teste infalível com θ = 0°:
Se θ = 0° → componente é máxima? → use cos (cos0°=1 ✓)
Se θ = 0° → componente é zero? → use sin (sin0°=0 ✓)

No Plano Inclinado

Paralela (escorrega): mg sinθ Perpendicular (esmaga): mg cosθ

O ângulo θ está entre o peso (vertical) e a normal. A componente paralela ao plano (que faz escorregar) é a que está longe do ângulo → seno.

Teste: se θ=0° (plano horizontal), nada escorrega: mg sin0° = 0 ✓. Normal = mg: mg cos0° = mg ✓.

Na Corda em Ângulo

θ com a horizontal: Horizontal: T cosθ (junto) Vertical: T sinθ (longe)

Se θ é medido da horizontal: horizontal = cos (junto do ângulo), vertical = sin (longe).
Se θ é medido da vertical: inverte! Mas os valores numéricos são os mesmos.

⚠️ Erro #1 do capítulo

Trocar seno e cosseno é o erro mais comum e mais destrutivo. Se usar sin onde deveria usar cos (ou vice-versa), TODA a resposta sai errada.

Solução: sempre faça o teste com θ=0° antes de prosseguir. Se não faz sentido, trocou!

04Plano Inclinado

Use eixos paralelo/perpendicular!

No plano inclinado, NÃO use eixos horizontal/vertical! Use eixos paralelo e perpendicular ao plano. Assim, o movimento fica todo num eixo e o outro dá equilíbrio (N = mg cosθ).

O "número mágico": mg sinθ

mg sinθ é a componente do peso que puxa rampa abaixo. Compare com a força aplicada F:
• F > mg sinθ → sobe
• F = mg sinθ → equilíbrio
• F < mg sinθ → desce

Calcule mg sinθ primeiro! É a referência de tudo no plano.

Fórmulas de aceleração

Descendo: a = g(sinθ − μcosθ) Subindo: a = g(sinθ + μcosθ)

Descendo: gravidade e atrito se opõem (atrito freia a descida).
Subindo: gravidade e atrito somam (ambos contra o movimento).

A assimetria subida/descida é importante! O atrito muda de sinal.

v constante no plano → μ = tanθ!

Se o bloco desce com v constante (a=0): mg sinθ = μmg cosθ → μ = tanθ.

Esse é um macete poderoso: "v constante" no plano inclinado revela μ diretamente! Aparece em vários exercícios.

05Polias e Sistemas

Polia Ideal

Mesma tensão T dos dois lados (corda sem massa).
Mesma |a| nos dois blocos (corda inextensível).
Direções podem diferir: um sobe, outro desce.

Método da Soma (eliminar T)

1. Escrever 2ª Lei pra cada bloco (positivo = direção do movimento)
2. Somar as equações → T cancela!
3. Isolar a
4. Substituir de volta pra achar T

Macete: a = (F_motora − F_resistência) / m_total. É uma "disputa" entre os lados.

⚠️ T ≠ peso do bloco!

Se T = mg do bloco pendurado, esse bloco estaria em equilíbrio (a=0). Mas se o sistema acelera, T ≠ mg!
• Bloco desce: T < mg (senão não descia)
• Bloco sobe: T > mg (senão não subia)

06Situações Especiais

Elevador: T = m(g+a)

O "peso aparente" muda com a aceleração do elevador!
• a>0 (sobe acelerando): mais pesado (T > mg)
• a<0 (desce acelerando): mais leve (T < mg)
• a=−g (queda livre): T=0 (sem peso!)

Macete: "v constante no elevador" → T = mg → revela a massa!

Pêndulo no Carro

tanθ = a/g T² = (mg)² + (ma)²

A corda inclina na direção oposta à aceleração. Quanto maior a, mais horizontal.

Truque sin²+cos²=1: (Tcosθ)²+(Tsinθ)² = (mg)²+(ma)² → T²=m²(g²+a²). Elimina θ!

Força em ângulo no horizontal

N = mg − F sinθ

Puxar em ângulo reduz a normal → reduz o atrito! Ângulo ótimo: θ=arctan(μ). É por isso que alças de mala fazem ângulo com o chão.

⚠️ Sistema pode "travar"!

Se a diferença de forças motrizes é menor que a soma dos atritos, nada se move! a = 0 (sistema trava). Sempre verifique se há movimento antes de calcular aceleração.

07Fluxo Universal de Resolução

5 Passos — Sempre!

1. Desenhar diagrama de corpo livre (TODAS as forças em cada bloco)
2. Escolher eixos (junto do movimento = +)
3. Decompor forças nos eixos (sinθ/cosθ)
4. Aplicar ΣF = ma em cada eixo
5. Resolver o sistema de equações

Esse fluxo resolve qualquer problema de Newton!

Dicas de verificação

• "v constante" → a=0 → equilíbrio → extrair dados
• Testar extremos: θ=0°, μ=0, m=0 — a resposta faz sentido?
• Massa cancela quando todas as forças são ∝ m
• Conferir unidades: F em N, m em kg, a em m/s²

4.1Peso suspenso por corda puxada lateralmente — tanθ = F/W.▾

Enunciado

Peso de 50 N suspenso por corda no teto. Força horizontal puxa, corda faz 53° com o teto. Qual a força horizontal?

Equilíbrio → ΣF = 0 em cada eixo

Parado → 1ª Lei → ΣFₓ=0 e ΣFᵧ=0. Três forças: peso (W↓), tensão (T ao longo da corda) e força horizontal (F→). O atalho: dividindo as equações → F/W = tanθ → elimina T direto!

Resolução

53° com teto = 37° com vertical. Ângulo junto da vertical → Tᵧ=Tcos37°, Tₓ=Tsin37°.
Atalho: F/W = tan37° → F = 50×tan37° = 50×0,7536 = 37,7 N

Resposta

F ≈ 37,7 N

Macete

F/W = tanθ — quando tem peso + corda + força perpendicular, a tangente elimina T e dá a resposta direto!

4.11Três blocos na mesa sem atrito — sistema vs individual.▾

Enunciado

Três blocos (3, 4, 6 kg) conectados na mesa sem atrito, puxados por F=6N. (a) Aceleração? (b) Tensões?

Sistema para a, individual para T

Aceleração: trate tudo como um bloco (tensões somem): a = F/m_total.
Tensões: isole cada bloco separadamente e aplique F=ma.

Resolução

(a) a = 6/13 = 0,46 m/s²
(b) T₁ (puxa m₁=3kg): T₁ = 3(0,46) = 1,38 N
T₂ (puxa m₁+m₂): T₂ = 7(0,46) = 3,23 N · Check: F−T₂ = 6a → 6−3,23 = 6(0,46) ✓

Resposta

a ≈ 0,46 m/s² · T₁ ≈ 1,38 N · T₂ ≈ 3,23 N

Insight

T₂ > T₁ porque T₂ "carrega" mais massa (7 kg vs 3 kg). Tensão é maior perto da força aplicada — como puxar uma corrente, o elo mais próximo da mão sente mais força.

4.12Arrastar bloco com atrito — F = ma + μmg.▾

Enunciado

Bloco 5kg, μ=0,5, a=1m/s². Força horizontal?

Resolução

N = mg = 49 N · f = 0,5(49) = 24,5 N
F − f = ma → F = 5(1) + 24,5 = 29,5 N
Cuidado: F = ma + f, não mg·a + f! F=ma usa massa, não peso.

Resposta

F = 29,5 N (83% pro atrito, 17% pra acelerar)

4.13Bloco no plano 37° com atrito — a = g(sinθ−μcosθ).▾

Enunciado

Bloco 5kg, plano 37°, μ=0,1. Aceleração?

Plano inclinado: eixos paralelo/perpendicular

N = mg cosθ ≠ mg! No plano inclinado a normal é menor que o peso. Quanto mais inclinado, menor N, menor atrito.
Teste θ=0°: paralela = mgsin0°=0 ✓ (não escorrega horizontal). Normal = mgcos0°=mg ✓.

Resolução

N = 49cos37° = 39,1 N · f = 0,1(39,1) = 3,91 N
mg sin37° = 29,5 N > f → escorrega!
a = g(sin37°−0,1cos37°) = 9,8(0,6018−0,0799) = 5,12 m/s²

Resposta

a ≈ 5,12 m/s²

Fórmulas do plano

Descendo: a = g(sinθ − μcosθ) — atrito freia
Subindo: a = g(sinθ + μcosθ) — atrito e gravidade juntos
O sinal do atrito inverte com a direção do movimento!

4.14Plano 37° sem atrito + força — o "número mágico" mg sinθ.▾

Enunciado

Bloco 8kg, plano 37°, sem atrito. (a) F=40N: aceleração? (b) F=60N? (c) Força pra equilíbrio?

Calcule mg sinθ PRIMEIRO — é a referência!

mg sin37° = 8(9,8)(0,6018) = 47,18 N. Esse é o "número mágico":
F < 47,18 → desce · F = 47,18 → equilíbrio · F > 47,18 → sobe. A equação é sempre: F − mg sinθ = ma.

Resolução

(c) F = mg sin37° = 47,18 N
(a) 40−47,18 = 8a → a = −0,90 m/s² (desce!)
(b) 60−47,18 = 8a → a = +1,60 m/s² (sobe!)

Resposta

(a) 0,90 m/s² ↓ · (b) 1,60 m/s² ↑ · (c) 47,18 N

4.15Empurrar rampa acima com atrito — v constante vs acelerando.▾

Enunciado

Bloco 10kg, plano 37°, μ=0,5. (a) F pra v constante rampa acima? (b) F pra a=2 m/s²?

Resolução

Resistências (gravidade + atrito, ambos contra):
mg sin37° = 58,98 N + f = μmg cos37° = 39,13 N → Total = 98,11 N

(a) v const: F = 98,11 N · (b) a=2: F = ma + 98,11 = 20+98,11 = 118,11 N
Diferença = exatamente ma = 20 N!

Resposta

(a) 98,11 N · (b) 118,11 N

Insight

A força se divide em 3 tarefas: vencer gravidade (59 N) + vencer atrito (39 N) + acelerar (20 N). A diferença entre v constante e acelerando é exatamente ma.

4.16Polia: bloco na rampa + bloco pendurado — método da soma.▾

Enunciado

Bloco A (8kg) na rampa 37° sem atrito + bloco B (4kg) pendurado via polia. Aceleração?

Quem vence? Compare as forças!

A quer descer: mₐg sin37° = 47,18 N. B quer cair: m_Bg = 39,2 N. 47,18 > 39,2 → A desce, B sobe.

Resolução

Bloco A: mₐg sin37° − T = mₐa · Bloco B: T − m_Bg = m_Ba
Soma (T cancela!): mₐg sin37° − m_Bg = (mₐ+m_B)a
a = (47,18−39,2)/12 = 0,67 m/s² · T = 4(9,8+0,67) = 41,87 N

Resposta

a ≈ 0,67 m/s² · T ≈ 41,87 N

4.17Elevador — peso aparente muda com aceleração.▾

Enunciado

Objeto no elevador. v constante: T=50N. (a) T com a=3m/s² ↑? (b) a se T=30N?

T = m(g+a) — fórmula do elevador

v constante → T=mg → m = 50/9,8 = 5,10 kg. Agora usa T=m(g+a) pra cada cenário.

Resolução

(a) T = 5,10(9,8+3) = 5,10(12,8) = 65,3 N (mais pesado!)
(b) a = T/m−g = 30/5,10−9,8 = −3,92 m/s² (desce!)

Resposta

(a) 65,3 N · (b) −3,92 m/s²

Insight

"v constante" revela a massa! É por isso que balanças "mentem" em elevadores — medem o peso aparente T, não o peso real mg.

4.18Desce com v constante (acha μ), depois lançado pra cima.▾

Enunciado

Objeto desce plano 37° com v constante. Na base, lançado rampa acima com 5 m/s. Distância até parar?

Resolução

Fase 1 — μ: v constante descendo → μ = tanθ = tan37° = 0,75
Fase 2 — Subindo: gravidade + atrito JUNTOS (ambos contra!)
a = −g(sinθ+μcosθ) = −9,8(0,6018+0,75×0,7986) = −11,77 m/s²
d = v₀²/(2×11,77) = 25/23,54 = 1,06 m

Resposta

d ≈ 1,06 m

Insight

Assimetria subida/descida! Descendo: gravidade e atrito se cancelam (v const). Subindo: se somam (a=11,77). Sem atrito: d=2,12m. Com atrito: 1,06m. Cortou pela metade!

4.19Blocos A,B,C com polia — remover C e sistema acelera.▾

Enunciado

A (5kg pendurado), B (20kg mesa), C (10kg em cima de B). v constante. Aceleração quando C é removido?

C em cima afeta a normal!

Com C: N=(m_B+m_C)g=294N → mais atrito → equilíbrio. Sem C: N=m_Bg=196N → menos atrito → A vence!

Resolução

Fase 1: v const → μ = T/N = 49/294 = 1/6
Fase 2: N'=196N · f'=(1/6)(196)=32,67N
49−32,67 = 25a → a = 0,65 m/s²

Resposta

a ≈ 0,65 m/s²

4.20Duas rampas + polia + atrito — sistema pode travar!▾

Enunciado

Bloco 40N (30°) sobe v const, conectado a W₂ (45°). μ=0,25. (a) W₂? (b) T? (c) Substituir por 100N: aceleração?

Resolução

(a)(b): T = 40(sin30°+0,25cos30°) = 28,66 N · W₂ = T/(sin45°−0,25cos45°) = 54 N
(c) Com 100N: F_motora = |100sin30°−54sin45°| = 11,8 N
F_atrito = 0,25(100cos30°+54cos45°) = 31,2 N
11,8 < 31,2 → TRAVA! a = 0

Resposta

(a) W₂≈54N · (b) T≈28,66N · (c) a=0 (trava!)

Macete

Sempre verifique se F_motora > F_atrito antes de calcular aceleração! Se o atrito vence, o sistema não se move. Assumir movimento sem verificar é erro grave.

4.21Corda em ângulo reduz normal — peso máximo de caixa.▾

Enunciado

Corda (ruptura 800N) arrasta caixa com v constante em ângulo θ. μ=0,3. Peso máximo da caixa?

Resolução

N = W − Tsinθ · Equilíbrio: Tcosθ = μ(W−Tsinθ) → W = T(cosθ+μsinθ)/μ
Maximizar (cosθ+0,3sinθ): tanθ=0,3 → θ=16,7° → max=√1,09=1,044
W = (800/0,3)×1,044 = 2784 N

Resposta

W_max ≈ 2784 N (θ ≈ 16,7°)

Insight

Ângulo ótimo = arctan(μ). Puxar em ângulo permite mover 4,4% mais peso que puxar horizontalmente. É por isso que alças de mala fazem ângulo — não é só conforto, é física!

4.22Bola pendurada no carro — aceleração máxima e sin²+cos²=1.▾

Enunciado

Bola 10kg no teto do carro, corda suporta 500N. (a) Aceleração máxima? (b) Ângulo?

Resolução

Truque: T² = m²(g²+a²) → a = √(T²/m²−g²) = √(2500−96) = 49,03 m/s² (≈5g!)
tanθ = a/g = 49,03/9,8 → θ ≈ 78,7° (quase horizontal!)

Resposta

(a) 49,03 m/s² · (b) 78,7°

Insight

sin²+cos²=1 elimina θ de uma vez quando tem Tcosθ e Tsinθ. tanθ=a/g é a fórmula direta do pêndulo de aceleração — princípio dos acelerômetros!

4.23Bloco desliza na parede do vagão acelerando — massa cancela!▾

Enunciado

Bloco na parede frontal do vagão, μ=0,4. Desliza com a=9,0 m/s² pra baixo. Aceleração do trem?

Resolução

N = ma (aceleração horizontal "prensa") · f = μma (atrito vertical)
Vertical: mg − μma = m(9,0) → g − 0,4a = 9,0 → a = (9,8−9,0)/0,4 = 2 m/s²

Massa cancelou! Resultado não depende de m.

Resposta

a = 2 m/s²

4.24B puxado por 100N, A preso à parede — 3ª Lei e duas superfícies.▾

Enunciado

B (5kg) puxado por F=100N. A (2kg) em cima de B, preso por corda. μ=0,2 em todas superfícies. Aceleração e tensão?

3ª Lei: atrito em A gera reação em B

Duas superfícies = dois atritos!
Superfície A/B: N₁ = mₐg → f₁ = μmₐg
Superfície B/chão: N₂ = (mₐ+m_B)g → f₂ = μ(mₐ+m_B)g
O chão sente o peso de AMBOS!

Resolução

A (parado): T = f₁ = μmₐg = 0,2(2)(9,8) = 3,92 N
B: F − f₁'(3ª Lei) − f₂ = m_B·a
100 − 3,92 − 0,2(7)(9,8) = 5a → 100−3,92−13,72 = 5a → a ≈ 16,5 m/s²

Resposta

a ≈ 16,5 m/s² · T ≈ 3,92 N

Insight

3ª Lei é crucial: atrito em A (←) gera reação em B (→). Normal do chão inclui TUDO em cima: N=(mₐ+m_B)g. A corda "desacopla" os blocos — sem ela, moveriam juntos.