Capítulo 6 — Momento e Colisões

Física para Computação · CIn/UFPE

00Antes de Começar — Uma Nova Lei de Conservação

Energia nem sempre basta

No cap.5, conservação de energia resolve muita coisa. Mas numa colisão, como saber as velocidades de cada objeto depois? Energia dá 1 equação, mas temos 2 incógnitas (v₁ e v₂)!

Precisamos de outra lei: conservação de momento. Com momento + energia, resolvemos colisões completas.

Analogia: Bilhar

No bilhar, a bola branca bate na vermelha e para — a vermelha sai com a velocidade da branca. O "impulso de movimento" foi transferido. Esse "impulso" é o momento (massa × velocidade). Ele nunca desaparece — só muda de objeto.

O que vamos aprender

1. Momento p = mv e sua conservação
2. Colisão inelástica (grudam)
3. Colisão elástica (ricocheteiam, KE conserva)
4. Explosões (p=0 → se separam)
5. Colisões 2D (componente a componente)
6. Combo momento + energia (bala+bloco)
01Momento Linear — p = mv

Definição

p⃗ = mv⃗ (vetor!)
Momento = massa × velocidade. É um vetor — tem direção! Unidade: kg·m/s.

Um caminhão a 10 m/s tem mais momento que um carro a 10 m/s (mais massa). Um carro a 100 m/s tem mais momento que a 10 m/s (mais velocidade).

Conservação (a lei de ouro)

p_antes = p_depois m₁v₁ᵢ + m₂v₂ᵢ = m₁v₁f + m₂v₂f
O momento total se conserva SEMPRE em colisões (se não há forças externas). Não importa se grudam, quicam, ou explodem. É a lei mais universal da mecânica!

Analogia: dinheiro transferido entre contas — o total do banco não muda.

⚠️ Momento vs Energia nas colisões

Momento: se conserva SEMPRE (em qualquer colisão)
Energia cinética: pode se perder (vira calor, deformação, som)

Colisão elástica: KE se conserva ✓
Colisão inelástica: KE se perde ✗ (mas p se conserva!)

Impulso-Momento

FΔt = Δp = mv_f − mv_i
Impulso = força × tempo = mudança de momento. Vem de F=ma integrado no tempo. É por isso que airbags funcionam: mesmo Δp, mais Δt → menos F!
02Tipos de Colisão

Inelástica (grudam)

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁+m₂)v_f
Após a colisão, movem-se juntos com v_f. KE se perde (vira deformação/calor). É o tipo mais simples: 1 equação, 1 incógnita.

Macete: v_f = (m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂) = média ponderada das velocidades.

Elástica (ricocheteiam)

Momento: m₁v₁ᵢ = m₁v₁f + m₂v₂f KE: ½m₁v₁ᵢ² = ½m₁v₁f² + ½m₂v₂f²
Após colisão, se separam e KE total não muda. 2 equações, 2 incógnitas. Fórmulas diretas (alvo parado):

v₁f = v₀(m₁−m₂)/(m₁+m₂)
v₂f = v₀(2m₁)/(m₁+m₂)

Casos especiais da elástica

Massas iguais (m₁=m₂): v₁f=0, v₂f=v₀ → "troca perfeita" (bilhar!)
m₁>>m₂ (bola em parede): v₁f≈v₀, v₂f≈2v₀ → parede mal se move
m₁< v₁f≈−v₀ → volta quase igual

Massas iguais elástica 2D → saem a 90° entre si!

Explosão (p_total = 0)

0 = m₁v₁ + m₂v₂ v₁/v₂ = −m₂/m₁
Objeto parado se divide. Momento total era 0 → continua 0. Os pedaços vão em direções opostas. O mais leve sai mais rápido.

Analogia: foguete! O gás sai pra trás (mv) → foguete vai pra frente (mv). p_total = 0.
03Colisão 2D — Componente a Componente

Conservação em cada eixo

x: m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ = m₁v'₁ₓ + m₂v'₂ₓ y: m₁v₁ᵧ + m₂v₂ᵧ = m₁v'₁ᵧ + m₂v'₂ᵧ
Momento se conserva em cada eixo separadamente! É um vetor — x com x, y com y (como soma de vetores no cap.2).

Massas iguais, elástica 2D → 90°!

Se m₁=m₂ e colisão é elástica (KE conserva), os vetores v₁f e v₂f sempre fazem 90° entre si!

Prova: KE conserva → |v₁|²=|v₁f|²+|v₂f|². Momento conserva → v₁=v₁f+v₂f. Comparando: v₁f·v₂f=0 → perpendiculares! (dot=0 do cap.2)

Fluxo 2D

1. Decompor velocidades em x e y (como projétil!)
2. Aplicar conservação em x e em y separadamente
3. Se elástica: adicionar conservação de KE
4. Resolver sistema (2-3 equações, 2-3 incógnitas)
5. Recombinar: magnitude e ângulo por Pitágoras+arctan
04Combo Momento + Energia

Bala + Bloco (o clássico!)

Fase 1 — Colisão (momento): bala gruda no bloco → m_b·v_b = (m_b+M)·v_f
Fase 2 — Movimento (energia): bloco+bala sobe pêndulo → ½(m+M)v² = (m+M)gh

Cada fase usa sua ferramenta: colisão→momento, subida→energia. Nunca misture as fases!

Por que não usar energia na colisão?

Colisão inelástica perde KE (vira calor). Se usasse conservação de energia na fase 1, daria errado! Momento funciona sempre, energia cinética NÃO (na inelástica).

Regra: durante a colisão → momento. Depois da colisão → energia.

Pulos Sequenciais vs Todos Juntos

3 pessoas pulando do barco sequencialmente transferem mais momento do que pulando todas juntas!

É o princípio do foguete: ejetar massa em etapas é mais eficiente. No caso sequencial, cada pulo tem "menos massa de barco" → v/m₀ é maior progressivamente.
05Fluxograma e Macetes

Fluxograma de decisão

Grudam? → Inelástica: p conserva, KE NÃO
Ricocheteiam? → Provavelmente elástica: p E KE conservam
Explodem? → p_total=0 (se partiu do repouso)
2D? → Componente a componente + colisão 1D em cada eixo
Combo? → Colisão=momento, depois=energia

Sinais importam!

Momento é vetor. Escolha positivo→direita:
• Vai pra direita: v > 0
• Vai pra esquerda: v < 0

Se v_f deu negativo → objeto vai pra esquerda (volta!). Não descarte — o sinal contém informação.

Verificação rápida

1. p_antes = p_depois? (sempre deve bater)
2. KE_depois ≤ KE_antes? (nunca aumenta sem força externa)
3. Se inelástica: KE_f < KE_i sempre
4. Se elástica: KE_f = KE_i exatamente
6.10Impulso ao pegar bola — F = Δp/Δt.▾
Enunciado
Bola 0,15kg a 40m/s parada em 0,03s pela mão. Força média?
Impulso = FΔt = Δp
A força durante Δt muda o momento de mv₀ pra 0. Quanto menor Δt (parada brusca), maior a força! É por isso que luvas de baseball existem — aumentam Δt → reduzem F.
Resolução
Δp = 0 − 0,15(40) = −6 kg·m/s · F = −6/0,03 = −200 N (contra o movimento)
Resposta
F = 200 N
6.11Vagões se acoplam — colisão inelástica simples.▾
Enunciado
Vagão 10000kg a 3m/s bate e acopla com vagão 5000kg parado. v_f?
Resolução
10000(3) = 15000·v_f → v_f = 2 m/s
KE_i = 45000J · KE_f = 30000J → Perdeu 33% da KE (virou calor/deformação)
Resposta
v_f = 2 m/s (33% da KE perdida)
6.12Colisão elástica — fórmulas diretas: troca, ricochete, passagem.▾
Enunciado
Bola m₁ a v₀ bate em bola m₂ parada (elástica). (a) m₁=m₂ (b) m₁=2m₂ (c) m₁=0,5m₂.
Fórmulas diretas da elástica
v₁f = v₀(m₁−m₂)/(m₁+m₂) → projetil
v₂f = v₀(2m₁)/(m₁+m₂) → alvo

Decore estas duas! Funcionam sempre que o alvo está parado e a colisão é elástica.
Resolução
(a) m₁=m₂: v₁f=0, v₂f=v₀ → troca perfeita (bilhar!)
(b) m₁=2m₂: v₁f=v₀/3, v₂f=4v₀/3 → pesada continua, leve dispara
(c) m₁=0,5m₂: v₁f=−v₀/3, v₂f=2v₀/3 → leve ricochete (volta!)
Resposta
(a) troca: v₁=0,v₂=v₀ · (b) v₁=v₀/3,v₂=4v₀/3 · (c) v₁=−v₀/3,v₂=2v₀/3
Insight
O sinal de v₁f revela o que acontece: positivo → continua no mesmo sentido. Negativo → volta! Zero → para (troca perfeita). O sinal vem de (m₁−m₂): m₁>m₂ → empurra e continua. m₁<m₂ → bate e volta.
6.13Explosão — objeto parado se divide, p_total = 0.▾
Enunciado
Objeto 5kg parado explode em 2kg (v=3m/s→) e 3kg. Velocidade da peça de 3kg?
Resolução
p_antes = 0 = 2(3) + 3v₂ → v₂ = −2 m/s (oposta → esquerda!)
KE criada = ½(2)(9)+½(3)(4) = 15 J (veio da explosão interna)
Resposta
v₂ = −2 m/s (direção oposta) · 15J criados
6.14Bala + bloco + pêndulo — o combo clássico: momento → energia.▾
Enunciado
Bala 10g a v₀ gruda em bloco 2kg pendurado. Sobe h=0,1m. Velocidade da bala?
Duas fases, duas ferramentas
Fase 1 (colisão): momento conserva (bala gruda = inelástica → NÃO use energia aqui!)
Fase 2 (pêndulo): energia conserva (bloco+bala sobe → KE→PE)

Resolva de trás pra frente: energia dá v_f, momento dá v₀.
Resolução
Fase 2 (energia): v_f = √(2gh) = √(1,96) = 1,4 m/s
Fase 1 (momento): 0,01·v₀ = 2,01·1,4 → v₀ = 281,4 m/s
KE bala = 396J → KE após = 1,97J → 99,5% perdida!
Resposta
v₀ ≈ 281 m/s (99,5% da KE virou calor na colisão!)
Insight
99,5% da KE se perdeu! Parece absurdo, mas é real: quase toda energia vira calor/deformação na bala+bloco. Só 0,5% vira PE no pêndulo. É por isso que balas fazem buracos — a energia "perde" mas vira calor destrutivo.
6.15Colisão frontal inelástica — sentidos opostos, sinais opostos.▾
Enunciado
Bloco 4kg (6m/s→) e 2kg (3m/s←) grudam. v_f e KE perdida?
Resolução
4(6)+2(−3) = 6v_f → 24−6=6v_f → v_f = 3 m/s →
KE_i = 72+9=81J · KE_f = ½(6)(9)=27J · ΔKE = −54 J (67% perdida)
Resposta
v_f = 3 m/s → · 54 J perdidos (67%)
Sinais!
v₂ = −3 m/s porque vai pra esquerda! Se esqueceu o sinal: p = 24−6 = 18. Com sinal errado: 24+6 = 30 → resposta totalmente errada. Direção = sinal!
6.16Elástica 1D — dois objetos, fórmulas completas.▾
Enunciado
Bola 3kg a 5m/s bate (elástica) em bola 1kg parada. Velocidades finais?
Resolução
v₁f = 5(3−1)/(3+1) = 5(2/4) = 2,5 m/s →
v₂f = 5(2×3)/(3+1) = 5(6/4) = 7,5 m/s →
Check p: 3(5)=15 = 3(2,5)+1(7,5) = 7,5+7,5 = 15 ✓
Check KE: ½(3)(25)=37,5 = ½(3)(6,25)+½(1)(56,25)=9,375+28,125=37,5 ✓
Resposta
v₁ = 2,5 m/s · v₂ = 7,5 m/s (p e KE conservados ✓)
6.17Colisão 2D: bola atinge bola — decompor em x e y.▾
Enunciado
Bola 2kg a 4m/s bate em bola 3kg parada. Bola 1 sai a 30° acima. Velocidades e ângulo da bola 2?
Conservação componente a componente
x: m₁v₀ = m₁v₁cos30° + m₂v₂cosφ
y: 0 = m₁v₁sin30° − m₂v₂sinφ
2 equações, 3 incógnitas (v₁, v₂, φ). Se elástica: KE dá a 3ª equação.
Resolução
Com KE conserva + p_x + p_y (3 equações):
Resolve iterativamente → v₁ ≈ 2,57 m/s, v₂ ≈ 2,29 m/s, φ ≈ 22,5° abaixo
Resposta
v₁ ≈ 2,57 m/s (30°↑) · v₂ ≈ 2,29 m/s (22,5°↓)
6.18Massas iguais elástica 2D → saem a 90°!▾
Enunciado
Duas bolas de mesma massa, colisão elástica 2D. Prove que saem a 90°.
Prova usa dot product = 0 do Cap.2!
Momento: v₀ = v₁f + v₂f (vetores).
KE: |v₀|² = |v₁f|² + |v₂f|².
Expandindo: |v₀|² = |v₁f+v₂f|² = |v₁f|² + 2(v₁f·v₂f) + |v₂f|².
Comparando: 2(v₁f·v₂f) = 0 → v₁f·v₂f = 0 → perpendiculares! (dot=0 do cap.2)
Resposta
v₁f · v₂f = 0 → ângulo = 90° (sempre, pra massas iguais elásticas) ✓
Insight
Vetores do cap.2 voltam com tudo! A prova de 90° usa dot product = 0 (perpendicular). Veja como os capítulos se conectam: vetores + energia + momento = resultado elegante.
6.193 pessoas pulam do barco — sequencial > junto! (princípio do foguete)▾
Enunciado
3 pessoas (80kg cada) em barco 200kg. Pulam a 3m/s relativo. (a) Todos juntos? (b) Sequencialmente?
Sequencial é melhor — princípio do foguete!
A cada pulo, o barco está mais leve → cada pulo seguinte dá mais velocidade extra. Juntos: 1 pulo, barco pesado. Sequencial: 3 pulos, barco cada vez mais leve.
Resolução
(a) Juntos: 0 = 240(3+v)+200v → v = −1,64 m/s
(b) Seq.: Pulo 1: 0=80(3+v)+360v → v₁=−0,545
Pulo 2: 360(−0,545)=80(3+v₂)+280v₂ → v₂=−1,23
Pulo 3: 280(−1,23)=80(3+v₃)+200v₃ → v₃=−2,09 m/s
Resposta
(a) Juntos: 1,64 m/s · (b) Sequencial: 2,09 m/s (28% mais!)
Insight
Sequencial dá 28% mais velocidade! É o princípio do foguete multiestágio: ejetar massa em etapas é mais eficiente que tudo de uma vez. Cada etapa começa com menos massa → mais ΔV pro que sobra.
6.20% de KE perdida em inelástica — depende da razão de massas.▾
Enunciado
Bola 3kg a 8m/s bate e gruda em bola 5kg parada. % de KE perdida?
Resolução
v_f = 3(8)/8 = 3 m/s · KE_i=96J · KE_f=36J · Perdida = 62,5%
Fórmula geral: %perdida = m₂/(m₁+m₂) = 5/8 = 62,5% ✓
Resposta
62,5% perdida · Fórmula: m₂/(m₁+m₂)
Insight
%KE perdida = m₂/(m₁+m₂) quando o alvo está parado. Se m₂>>m₁: quase 100% perdida (bola de ping-pong em parede). Se m₁>>m₂: quase nada perdida (caminhão em bicicleta).
6.22Explosão 2D em 3 pedaços — componente a componente.▾
Enunciado
Objeto 6kg parado explode em 3 pedaços: 2kg(4m/s↑), 1,5kg(3m/s→). Velocidade do 3º pedaço?
Resolução
m₃=6−2−1,5=2,5kg · p_total=0:
x: 0=1,5(3)+2,5·v₃ₓ → v₃ₓ=−1,8 m/s
y: 0=2(4)+2,5·v₃ᵧ → v₃ᵧ=−3,2 m/s
|v₃|=√(3,24+10,24)=3,67 m/s · θ=arctan(3,2/1,8)=60,6° abaixo da esquerda (3º quadrante)
Resposta
v₃ ≈ 3,67 m/s a 240,6° (3º quadrante)
6.23Bala ATRAVESSA bloco — combo com bala saindo do outro lado.▾
Enunciado
Bala 15g a 500m/s atravessa bloco 2kg parado. Bloco anda 0,5m com μ=0,4. Velocidade da bala saindo?
Fase 2 dá v_bloco, Fase 1 (momento) dá v_bala
Trás pra frente: energia dá v_bloco (atrito parou em 0,5m). Depois momento dá v_bala_saída. A bala NÃO ficou no bloco — atravessou.
Resolução
Fase 2: ½(2)v²=0,4(2)(9,8)(0,5) → v_bloco=1,98 m/s
Fase 1: 0,015(500)=0,015·v_b+2(1,98) → v_b=(7,5−3,96)/0,015=236 m/s
Resposta
v_bala_saída ≈ 236 m/s (perdeu 53% da velocidade)
6.24Colisão 2D inelástica — duas bolas grudam em ângulo.▾
Enunciado
Bola 3kg (4m/s→) e 2kg (3m/s↑) grudam. v_f e ângulo?
Resolução
x: 3(4)=5·vₓ → vₓ=2,4 m/s
y: 2(3)=5·vᵧ → vᵧ=1,2 m/s
v=√(5,76+1,44)=2,68 m/s · θ=arctan(1,2/2,4)=26,6° acima da horizontal
Resposta
v_f ≈ 2,68 m/s a 26,6°
Insight
KE_i = 24+9=33J · KE_f = ½(5)(7,2)=18J → 45% perdida. Mais massa na bola x → ângulo mais perto de x. É a "média ponderada" das direções, pesada pelas massas×velocidades.