Capítulo 7 — Movimento Rotacional

00Antes de Começar — Rotação é "Linear Disfarçado"

O Grande Segredo

Tudo que você aprendeu de cinemática linear (cap.3) funciona em rotação! Só troca as letras:
posição x → ângulo θ
velocidade v → vel. angular ω
aceleração a → acel. angular α

As mesmas 4 equações do MRUV valem — só com letras gregas. Você já sabe 90% deste capítulo!

Analogia: Disco de Vinil

Imagine um disco girando:
• θ: quanto girou (ângulo, em radianos)
• ω: quão rápido gira (rad/s)
• α: se está acelerando ou freando a rotação

Um ponto na borda se move mais rápido (v = rω) que um ponto perto do centro, mas ambos giram com o mesmo ω!

A novidade: Força Centrípeta

Quando algo se move em círculo, precisa de uma força apontando pro centro. Sem essa força, sai voando em linha reta (1ª Lei de Newton!).

Essa força NÃO é uma força nova — é a resultante das forças reais (tensão, normal, gravidade, atrito) na direção do centro.

Pré-requisitos

• Cinemática (cap.3): as 4 equações do MRUV
• Newton (cap.4): F=ma, diagrama de corpo livre
• Energia (cap.5): conservação (pra loops e pêndulos)
• Trigonometria: sin, cos pra decompor forças

01Tradução Linear → Rotacional

Dicionário de Tradução

Linear	Rotacional	Conexão
Posição x (m)	Ângulo θ (rad)	x = rθ
Velocidade v (m/s)	Vel. angular ω (rad/s)	v = rω
Aceleração a (m/s²)	Acel. angular α (rad/s²)	a_tan = rα

O raio r conecta os dois mundos. Ponto mais longe do centro (r maior) = mais rápido linearmente, mas mesmo ω.

As 4 Equações (mesmas!)

ω = ω₀ + αt θ = ω₀t + ½αt² ω² = ω₀² + 2αθ θ = (ω₀+ω)/2 × t

São as mesmas equações do cap.3 com letras gregas! O fluxo é idêntico: listar dados → escolher equação → resolver.

Conversões Essenciais

1 rev = 2π rad = 360° rev/min → rad/s: × 2π/60 rev/s → rad/s: × 2π ω = 2π/T (T = período)

Macete RPM: 120 rpm = 120 × 2π/60 = 4π rad/s. Sempre converta pra rad/s antes de calcular!

02Duas Acelerações no Círculo

Centrípeta (radial) — "curva a trajetória"

a_c = v²/r = ω²r

Aponta pro centro. Existe SEMPRE que algo se move em círculo, mesmo com velocidade constante. Ela muda a direção do movimento, não a rapidez.

Analogia: girar uma pedra na corda — a corda puxa pro centro. Sem corda, a pedra sai voando em linha reta.

Tangencial — "muda a rapidez"

a_t = rα

Aponta ao longo da trajetória (tangente ao círculo). Existe só quando ω muda (α ≠ 0). Ela acelera ou freia a rotação.

Se α = 0 (vel. constante): a_t = 0, só tem centrípeta.

Aceleração total

a = √(a_c² + a_t²)

a_c e a_t são perpendiculares → Pitágoras! Após muitas voltas, a_c >> a_t (centrípeta cresce com ω², tangencial é constante se α constante).

03Força Centrípeta — NÃO é uma força nova!

2ª Lei de Newton no Círculo

ΣF_centro = mv²/r = mω²r

A soma das forças na direção do centro = mv²/r. Não é uma força extra! É o nome da resultante radial.

Analogia: "centrípeta" é como "salário líquido" — não é uma fonte de dinheiro, é o que sobra depois de todas as contas. Da mesma forma, centrípeta é o que sobra das forças reais na direção do centro.

Quem faz a centrípeta?

Forças REAIS que podem apontar pro centro:
• Corda: tensão → centrípeta
• Curva de estrada: atrito → centrípeta
• Órbita: gravidade → centrípeta
• Loop: normal + gravidade → centrípeta
• Pêndulo cônico: componente da tensão → centrípeta

⚠️ Erro grave: "força centrífuga"

Centrífuga NÃO é uma força real! É uma sensação do referencial acelerado. No referencial do chão (que usamos sempre), a força aponta pro centro (centrípeta), nunca pra fora.

A "sensação de ser empurrado pra fora" numa curva é porque seu corpo quer continuar em linha reta (inércia), mas o carro curva pra dentro.

04Círculo Vertical — Topo vs Base

No TOPO: gravidade ajuda

mg + T = mv²/r (ambos pro centro = pra baixo)

No topo, tanto mg quanto T apontam pro centro (ambos pra baixo). A gravidade ajuda a fazer a curva → T é menor.

Velocidade mínima: quando T=0 (corda frouxa): mg=mv²/r → v_min = √(gr). Se for mais devagar, a corda fica frouxa e o objeto cai!

Na BASE: gravidade atrapalha

T − mg = mv²/r (T pro centro = cima, mg contra)

Na base, T aponta pro centro (pra cima) mas mg aponta pra baixo (contra). A gravidade atrapalha → T é maior.

T = m(v²/r + g) → tensão MÁXIMA na base! É onde a corda arrebenta primeiro.

Haste vs Corda

Corda: só puxa (T≥0). No topo precisa de v_min = √(gr) pra não cair.
Haste rígida: puxa E empurra. Pode ter v=0 no topo (haste "segura").

Haste é mais "generosa" que corda — permite velocidades menores no topo.

Combo Energia + Centrípeta

Na maioria dos problemas de círculo vertical:
1. Use conservação de energia pra achar v em cada ponto
2. Use 2ª Lei radial (ΣF=mv²/r) pra achar forças (T, N)

Energia dá v. Newton dá F. Cada ferramenta na etapa certa!

05Situações Especiais

Pêndulo Cônico

Vertical: T cosθ = mg Horizontal: T sinθ = mω²r Dividindo: tanθ = ω²r/g

Massa gira em círculo horizontal com corda em ângulo fixo θ. Combina equilíbrio vertical + centrípeta horizontal. Raio da órbita: r = L sinθ.

Mais rápido → ângulo maior! ω↑ → θ↑ → corda mais horizontal. É o princípio do governador centrífugo de máquinas a vapor.

Perda de Contato na Esfera: cosθ = 2/3

Energia: v² = 2gr(1−cosθ) N=0: mg cosθ = mv²/r → cosθ = 2/3 → θ ≈ 48,2°

UNIVERSAL! Não depende de m, r, nem g. Qualquer objeto deslizando de uma esfera sem atrito perde contato sempre a θ = 48,2°. Um dos resultados mais elegantes da mecânica.

Loop (montanha-russa)

Base: N−mg = mv²/r → N = m(v²/r + g) — mais pesado!
Topo: mg+N = mv²/r → N = m(v²/r − g) — mais leve!
Lado: N = mv²/r (gravidade é tangencial, não radial)

Use energia pra achar v em cada ponto, depois Newton radial pra N.

Polias e Correias

v_tangencial = mesma na correia ω₁r₁ = ω₂r₂

A correia transmite velocidade tangencial igual entre as polias. Polia menor gira mais rápido: ω₂/ω₁ = r₁/r₂. Aceleração angular também se reduz na mesma razão.

06Fluxo de Resolução e Macetes

5 Passos pra qualquer problema circular

1. Identificar o raio r e o centro do círculo
2. Desenhar TODAS as forças no ponto de interesse
3. Eixo radial (pro centro): ΣF = mv²/r
4. Eixo tangencial (se houver): ΣF = ma_t
5. Se precisa de v: usar conservação de energia (cap.5)

Teste de extremos

• No topo: gravidade ajuda centrípeta → T menor
• Na base: gravidade atrapalha → T/N maior
• T=0: velocidade mínima no topo
• N=0: perde contato com a superfície
• ω↑: mais centrípeta, mais tensão, mais ângulo

Conexões com outros capítulos

Cap.3: mesmas equações (θ→x, ω→v, α→a)
Cap.4: F=ma vira ΣF_centro=mv²/r
Cap.5: conservação de energia dá v pra usar em mv²/r
Cap.8: torque τ=Iα é a versão dinâmica da rotação

7.1Roda r=0,5m a 120 rpm — conversões e v=rω.▾

Enunciado

Roda r=0,5m girando a 120 rev/min. (a) ω em rad/s? (b) v tangencial? (c) Radianos em 10s? (d) Distância rolando em 10s?

v = rω — a ponte entre os dois mundos

Conversão: rev/min → rad/s: multiplique por 2π/60. Depois: v = rω conecta velocidade linear e angular. x = rθ conecta distância e ângulo.

Resolução

(a) ω = 120×2π/60 = 4π ≈ 12,57 rad/s
(b) v = 0,5×4π = 2π ≈ 6,28 m/s
(c) θ = 4π×10 = 40π ≈ 125,7 rad (= 20 voltas ✓)
(d) d = 0,5×40π = 20π ≈ 62,8 m

Resposta

(a) 4π rad/s · (b) 2π m/s · (c) 40π rad · (d) 20π m

7.2Ponteiros do relógio — ω = 2π/T.▾

Enunciado

Velocidade angular dos ponteiros das horas, minutos e segundos?

Resolução

Horas (T=12h=43200s): ω = 2π/43200 = 1,45×10⁻⁴ rad/s
Minutos (T=3600s): ω = 2π/3600 = 1,75×10⁻³ rad/s
Segundos (T=60s): ω = 2π/60 = 0,105 rad/s

Resposta

ω_h=1,45×10⁻⁴ · ω_m=1,75×10⁻³ · ω_s=0,105 rad/s

Insight

Segundos gira 720× mais rápido que horas. 12h = 720 min. O ponteiro dos minutos gira 12× mais rápido que o das horas (60min vs 12h).

7.3Roda 5 rev/s para em 30s — mesmas equações do MRUV!▾

Enunciado

Roda a 5 rev/s para em 30s. (a) Desaceleração? (b) a_tangencial (r=0,4m)? (c) Revoluções?

Resolução

(a) α = (0−5)/30 = −0,167 rev/s² = −1,05 rad/s²
(b) a_t = rα = 0,4(1,05) = 0,42 m/s²
(c) θ = 5(30)+½(−0,167)(900) = 150−75 = 75 rev

Resposta

(a) −1,05 rad/s² · (b) 0,42 m/s² · (c) 75 rev

7.4Bicicleta a 10 m/s — ω da roda?▾

Enunciado

Bicicleta com r=0,34m a 10 m/s. ω das rodas?

Resolução

ω = v/r = 10/0,34 = 29,4 rad/s ≈ 281 rpm

Resposta

ω ≈ 29,4 rad/s ≈ 281 rpm

7.5Roda faz 1000 rev até parar — use ω média!▾

Enunciado

Roda a 10 rev/s faz 1000 rev parando. Tempo?

Resolução

θ = (ω₀+ω)/2 × t → 1000 = (10+0)/2 × t = 5t → t = 200 s

Resposta

t = 200 s

7.6Roda r=2m — centrípeta domina após muitas voltas!▾

Enunciado

Roda r=2m, α=1,5 rad/s². Acelerações tangencial e radial após 20π rad?

Duas acelerações perpendiculares

Tangencial (a_t=rα): constante, ao longo da trajetória. Centrípeta (a_c=ω²r): cresce com ω², pro centro. Após muitas voltas, centrípeta DOMINA.

Resolução

a_t = 2(1,5) = 3 m/s² (constante!)
ω² = 0+2(1,5)(20π) = 60π → a_c = 60π×2 = 120π ≈ 377 m/s² (enorme!)
a_total = √(9+142000) ≈ 377 m/s² (a_c domina 99%)

Resposta

a_t = 3 m/s² · a_c ≈ 377 m/s²

Insight

a_c cresce com ω² (quadrática), a_t é constante (α fixo). Quanto mais rápido gira, mais a centrípeta domina: 377 vs 3. A tangencial "muda a rapidez", a centrípeta "curva a trajetória".

7.7Polia + correia — polia menor gira mais rápido!▾

Enunciado

Polia rp=5cm no motor (α=25 rad/s²), correia pra roda rw=24cm. (a) ω da roda em 3s? (b) θ quando a_c=100g?

Correia: v_tangencial é igual → ω₁r₁ = ω₂r₂

A correia transmite a mesma velocidade tangencial. Polia menor gira mais rápido! Razão: ω_w = ω_p × (r_p/r_w). A aceleração angular também se reduz.

Resolução

α_w = 25×5/24 = 5,21 rad/s²
(a) ω_p=25(3)=75 → ω_w=75×5/24 = 15,6 rad/s
(b) a_c=ω²r_w=980 → ω²=4083 → θ=4083/(2×5,21) = 392 rad

Resposta

(a) 15,6 rad/s · (b) 392 rad

7.11Círculo vertical — T=0 no topo dá v_min = √(gr).▾

Enunciado

Objeto 0,2kg em corda 0,4m no círculo vertical. (a) Se T=0 no topo, v? (b) Mesma v na base: T?

Topo: mg+T=mv²/r · Base: T−mg=mv²/r

No topo: mg e T pra baixo (ambos pro centro). T=0 → v_min=√(gr).
Na base: T pra cima (centro), mg pra baixo (contra). T=m(v²/r+g) — MÁXIMA!

Resolução

(a) v = √(gr) = √(9,8×0,4) = 1,98 m/s
(b) Com mesma v: v²/r = g → T = m(g+g) = 2mg = 2(0,2)(9,8) = 3,92 N

Resposta

(a) 1,98 m/s · (b) T = 3,92 N = 2mg

Insight

Na prática, v_base > v_topo (gravidade acelera na descida). Se usar energia: v²_base = v²_topo + 4gr → T_base = 6mg. A tensão na base é sempre MUITO maior que no topo!

7.15Dia de 84 min pra sentir "sem peso" no equador!▾

Enunciado

Duração do dia pra N=0 no equador? R=6,37×10⁶m.

"Sem peso" = N=0 → toda gravidade vira centrípeta

mg = mω²R → ω = √(g/R) → T = 2π/ω. A Terra teria que girar 17× mais rápido! Hoje a centrípeta no equador é só 0,3% de g.

Resolução

ω = √(9,8/6,37×10⁶) = 1,24×10⁻³ rad/s · T = 2π/ω = 5068 s = 84,5 min

Resposta

T ≈ 84,5 min (17× mais rápido que as 24h atuais!)

7.17Bloco gira na mesa, massa pendurada pelo furo — T faz dois trabalhos.▾

Enunciado

Bloco 2kg gira na mesa (ω=2rev/s), corda de 2m total pelo furo conecta a 15kg pendurado. Quanto do 15kg fica abaixo?

Mesma tensão T: sustenta embaixo e fornece centrípeta em cima

Embaixo: T=m₂g=147N (equilíbrio). Em cima: T=m₁ω²r (centrípeta). Igualar as duas T's dá r. Corda abaixo = L−r.

Resolução

T = 15(9,8) = 147N · ω = 4π rad/s
147 = 2(4π)²r = 315,8r → r = 0,466m · abaixo = 2−0,466 = 1,53 m

Resposta

1,53 m abaixo da mesa

Insight

Girar mais rápido → r aumenta → massa de baixo sobe! A rotação "controla" a altura do bloco pendurado. É um sistema autorregulável.

7.19Loop de montanha-russa — N diminui de B→D (base dos parques!).▾

Enunciado

Partícula m=0,7kg solta de A (h=1,5m), loop sem atrito (r=0,5m). Acelerações e normal em B (base), C (lado), D (topo)?

Energia dá v, Newton dá N

1. Conservação de energia → v² em cada ponto. 2. 2ª Lei radial → N. Em B: N é máxima ("esmagado"). Em D: N é mínima ("aliviado"). Se N_D=0 → perde contato!

Resolução

v²=2g(h_A−h_ponto): v²_B=29,4 · v²_C=19,6 · v²_D=9,8

B (base): a_c=58,8 · a_t=0 · N=m(v²/r+g)=48,0 N
C (lado): a_c=39,2 · a_t=g=9,8 · N=mv²/r=27,4 N
D (topo): a_c=19,6 · a_t=0 · N=m(v²/r−g)=6,86 N

Resposta

B: N=48,0N · C: N=27,4N · D: N=6,86N

Insight

N cai de 48→27→7 N! Na base você é "esmagado" (N>mg). No topo é "aliviado" (N<mg). Se v_D fosse menor, N_D=0 e perde contato! Isso é a base dos parques de diversão.

7.20Pêndulo cônico — equilíbrio vertical + centrípeta horizontal.▾

Enunciado

Pêndulo cônico: L=0,6m, m=1,2kg, θ=30°. (a) Tensão? (b) ω?

Vertical: Tcosθ=mg · Horizontal: Tsinθ=mω²r

A massa gira em círculo horizontal. A tensão faz dois trabalhos: componente vertical sustenta (=mg), componente horizontal fornece centrípeta. r = Lsinθ.

Resolução

(a) T = mg/cos30° = 1,2(9,8)/0,866 = 13,58 N
(b) r = 0,6sin30° = 0,3m · Tsin30° = mω²r → 6,79 = 0,36ω² → ω = 4,34 rad/s
Atalho: ω = √(g/(Lcosθ)) = √(9,8/(0,6×0,866)) = 4,34 ✓

Resposta

(a) T ≈ 13,6 N · (b) ω ≈ 4,34 rad/s

Insight

ω não depende da massa! ω=√(g/(Lcosθ)) — só depende de L e θ. Mais rápido → ângulo maior (corda mais horizontal). Princípio do governador centrífugo!

7.21Partícula na esfera — perde contato sempre a cosθ=2/3 (universal!).▾

Enunciado

Partícula no topo de esfera sem atrito (r=0,5m). Empurrada levemente. (a) v quando perde contato? (b) Ângulo θ?

2 equações, 2 incógnitas (v e θ)

Eq.1 — Energia: v²=2gr(1−cosθ) (quanto desceu).
Eq.2 — Newton radial com N=0: mgcosθ=mv²/r.
Iguale as duas → v e θ somem elegantemente → cosθ=2/3 sempre!

Resolução

Energia: v²=2gr(1−cosθ) ...(1)
N=0: v²=grcosθ ...(2)
Igualar: 2gr(1−cosθ)=grcosθ → 2−2cosθ=cosθ → cosθ=2/3 → θ≈48,2°
v: v²=9,8(0,5)(2/3)=3,267 → v=1,81 m/s

Resposta

(a) v ≈ 1,81 m/s · (b) θ ≈ 48,2° (cosθ = 2/3)

Insight

cosθ=2/3 é UNIVERSAL! Não depende de m, r, nem g. Qualquer objeto deslizando de qualquer esfera lisa perde contato a 48,2°. Um dos resultados mais elegantes da mecânica clássica. Vem da razão entre energia (∝1−cosθ) e centrípeta (∝cosθ).