Capítulo 8 — Torque, Momento de Inércia e Momento Angular

00Antes de Começar — A "Parte 2" da Rotação

Cap.7 vs Cap.8

Cap.7: cinemática rotacional (como gira) + centrípeta (força pra curvar).
Cap.8: dinâmica rotacional (por que gira) + conservação angular (como momento angular se conserva).

Cap.7 é o "cap.3 da rotação" (cinemática). Cap.8 é o "cap.4 + cap.5 + cap.6 da rotação" (forças + energia + conservação). Tudo junto!

A Grande Analogia

Cada conceito linear tem um "primo" rotacional:
• Força F → Torque τ
• Massa m → Momento de inércia I
• Momento p=mv → Momento angular L=Iω
• KE=½mv² → KE_rot=½Iω²
• F=ma → τ=Iα

Se sabe o linear, sabe o rotacional! É literalmente trocar letras.

Por que I é importante?

Massa mede resistência a aceleração linear (F=ma).
Momento de inércia (I) mede resistência a aceleração angular (τ=Iα).

Analogia: girar uma barra segurando no meio (fácil, I baixo) vs na ponta (difícil, I alto). Mesma massa, mas I muda com a distribuição da massa!

Pré-requisitos

• Cap.7: ω, α, v=rω, as 4 equações rotacionais
• Cap.5: conservação de energia, KE, PE
• Cap.6: conservação de momento (agora angular)
• Cap.4: diagrama de corpo livre, equilíbrio

01O Dicionário Completo: Linear → Rotacional

Tradução Completa

Linear	Rotacional
Massa m	Momento de inércia I
Força F	Torque τ
F = ma	τ = Iα
KE = ½mv²	KE_rot = ½Iω²
p = mv	L = Iω
W = Fd	W = τθ
P = Fv	P = τω
Conservação p	Conservação L

A 2ª Lei Rotacional

Στ = Iα

Torque resultante = I × aceleração angular. É F=ma pro mundo giratório. I faz o papel de m (resistência), τ faz o papel de F (causa da rotação). Se τ=0, α=0 (gira constante ou parado).

02Torque — A "Força de Rotação"

Definição

τ = r × F × sinθ = r⊥ × F

Torque = força × braço perpendicular. Quanto mais longe do eixo (r maior), mais torque. É por isso que maçanetas ficam na borda da porta — maximiza r!

Unidade: N·m (não confundir com J, embora mesma unidade).

Equilíbrio Rotacional

Στ = 0 "torques horários = anti-horários"

Se o objeto não gira: soma dos torques = 0. Escolha o pivô no ponto de interesse (geralmente onde tem uma força desconhecida — ela some da equação porque r=0!).

Usado em: vigas, pontes, balanças, tábuas sobre suportes.

Torque de Atrito (freio)

τ_atrito = f × r = μNr

Freio na borda de uma roda: atrito tangencial gera torque que desacelera. Mais longe do centro = mais torque de frenagem (freio a disco na borda vs no cubo).

03Momento de Inércia — A "Massa Rotacional"

Massas Pontuais

I = Σ mᵢrᵢ²

Cada massa contribui m×r² onde r é a distância ao eixo. Massa no eixo (r=0) não contribui! Massa longe do eixo contribui MUITO (cresce com r²!).

Analogia: girar um haltere pelo centro (r pequeno, fácil) vs pela ponta (r grande, difícil). Mesma massa, I diferente.

Formas Comuns (decorar!)

Anel fino: I = mr² Disco/cilindro: I = ½mr² Esfera sólida: I = ⅖mr² Haste (centro): I = 1/12 mL² Haste (ponta): I = ⅓mL²

Padrão: quanto mais massa perto do eixo, menor I. Esfera (⅖) < disco (½) < anel (1). Esfera distribui massa em 3D, anel concentra tudo na borda.

⚠️ I depende do EIXO!

O mesmo objeto tem I diferente se girar em torno de eixos diferentes! Haste pelo centro: 1/12mL². Pela ponta: 1/3mL² (4× mais!). Sempre identifique o eixo antes de calcular.

04Energia Rotacional e Rolamento

KE Rotacional

KE_rot = ½Iω²

Análogo a ½mv². Objetos que giram carregam energia na rotação. Uma roda parada (ω=0) tem KE_rot=0. Uma roda girando rápido (ω alto) tem muita KE.

Rolamento = Translação + Rotação

KE_total = ½mv² + ½Iω² Com v = rω: KE = ½mv²(1 + I/(mr²))

Bola rolando tem DOIS tipos de KE! Parte traduz (½mv²), parte gira (½Iω²). Resultado: bola sobe mais alto numa rampa que um bloco deslizando (mais energia guardada).

Esfera: KE = 7/10 mv² (40% extra na rotação!)
Disco: KE = 3/4 mv² (50% extra!)
Anel: KE = mv² (100% extra!)

Trabalho Rotacional

W = τθ = ΔKE_rot

Torque × ângulo = trabalho rotacional. Teorema trabalho-energia funciona igual: W = ½Iω² − ½Iω₀².

Potência Rotacional

P = τω

Análogo a P=Fv. A gangorra τ×ω: 1ª marcha (τ alto, ω baixo = arranque). 5ª marcha (τ baixo, ω alto = estrada). Mesma potência do motor!

05Momento Angular — Conservação

Definição

L = Iω (ou L = mvr pra ponto)

Análogo ao momento linear p=mv. Unidade: kg·m²/s. Se τ_ext=0, L é constante.

A Lei de Ouro

L_i = L_f (se τ_ext = 0) I₁ω₁ = I₂ω₂

Se I diminui, ω AUMENTA! É o efeito patinadora: braços pra dentro → I↓ → ω↑ → gira mais rápido!

Analogia: girar na cadeira de escritório. Braços abertos → gira devagar. Braços fechados → gira rápido. Mesma L!

⚠️ L conserva, KE NÃO!

Quando a patinadora fecha os braços, L é constante mas KE aumenta! KE = L²/(2I). Se I↓, KE↑. De onde vem a energia? Do trabalho muscular ao puxar os braços contra a centrípeta.

ω ∝ 1/r² quando r diminui. Se r cai pela metade, ω quadruplica!

06Polias com Massa (I ≠ 0)

Diferença do Cap.4

No cap.4, polias eram "sem massa" (I=0) → tensões iguais dos dois lados. Agora a polia tem I → precisa de torque pra girar → as tensões são DIFERENTES!

T₁ ≠ T₂. A diferença (T₁−T₂) fornece o torque: (T₁−T₂)r = Iα.

Método por Energia (mais fácil!)

mgh = ½m_blocos·v² + ½I(v/r)²

A polia "rouba" parte da energia pra girar. KE_total = KE_blocos + KE_polia. O termo I/r² age como "massa efetiva" da polia. Se I/r² >> m, a polia domina e bloqueia quase tudo!

A ponte v = rω

Se a corda não desliza: v_bloco = ω × r_polia. Conecta mundo linear (blocos, v, a) com rotacional (polia, ω, α). Use a = rα pra acelerações.

07Fluxo de Resolução e Macetes

Quando usar τ=Iα vs Energia?

τ=Iα: quando pede aceleração angular, tempo, ou torque.
Energia: quando pede velocidade, distância, ou "quão alto sobe?".
Conservação L: quando massa se redistribui (patinadora, carrossel, corda puxada).

Mesma lógica de Newton vs Energia do cap.4/5!

Checklist rápido

• Roda/anel: I = mr²
• Disco: I = ½mr²
• Esfera: I = ⅖mr²
• Rolamento: some ½mv² + ½Iω²
• v=rω conecta linear e rotacional
• L conserva se τ_ext=0
• KE pode mudar mesmo com L constante (trabalho!)

8.1Roda de bicicleta para com a mão — τ = Iα.▾

Enunciado

Roda (m=2kg, r=0,32m) gira a 2 rev/s. Mão encosta e para em 8s. Torque?

τ = Iα — a 2ª Lei rotacional

Roda de bicicleta ≈ anel (massa na borda): I = mr². Achar α pela cinemática (ω=ω₀+αt), depois τ=Iα.

Resolução

I = 2(0,32²) = 0,205 kg·m² · α = (0−4π)/8 = −π/2 rad/s² · τ = 0,205×π/2 = 0,32 N·m

Resposta

τ ≈ 0,32 N·m

8.3Roleta com torque de atrito — tempo pra parar.▾

Enunciado

Roleta I=0,5 kg·m², ω₀=2 rev/s, τ_atrito=0,4 N·m. Tempo?

Resolução

α = τ/I = 0,8 rad/s² · t = ω₀/α = 4π/0,8 = 15,7 s

Resposta

t ≈ 15,7 s

8.54 massas no retângulo — I = Σmr² (r = metade da diagonal).▾

Enunciado

4 massas de 2kg nos cantos do retângulo 3m×5m, α=3 rev/s². Torque?

I = Σmr² — cada massa a distância r do eixo central

O eixo passa pelo centro. Cada massa está na mesma distância r = ½√(3²+5²) = ½√34 do centro (simetria!). I = 4×m×r².

Resolução

r = ½√34 = 2,915m · I = 4(2)(8,5) = 68 kg·m² · α = 6π rad/s² · τ = 68×6π = 1282 N·m

Resposta

τ ≈ 1282 N·m

Insight

I cresce com r²! Massa longe do eixo contribui MUITO. É por isso que rodas de bicicleta têm massa na borda — maximiza I pra estabilidade giroscópica.

8.7Tábua sobre 2 suportes — equilíbrio: Στ = 0.▾

Enunciado

Tábua 20kg (22m), suportes B (8m) e A (14m da esquerda). Bloco 30kg à direita de A. Quão longe sem tombar?

Tomba quando N_B=0 → pivô em A

Truque: escolha o pivô no ponto de tombar (suporte A). A força em A some (r=0). Centro de massa da tábua a 3m à esquerda de A. Torque estabilizante (tábua) = torque desestabilizante (bloco).

Resolução

Torques em A:
Tábua: 20(9,8)(3) = 588 N·m (anti-horário, estabiliza)
Bloco: 30(9,8)(x) = 294x N·m (horário, tomba)
Tomba: 294x = 588 → x = 2 m

Resposta

x = 2 m à direita de A

8.10Bola rola e sobe rampa 30° — rotação guarda energia extra!▾

Enunciado

Bola (m=0,3kg, r=0,1m, I=⅖mr²) rola a 4m/s. Rampa 30°. Quanto sobe?

Rolamento: KE = translação + rotação = 7/10 mv²

Bola rolando tem ½mv² + ½Iω² = ½mv² + ⅕mv² = 7/10 mv². 40% mais energia que bloco deslizando! Essa energia extra faz a bola subir mais alto.

Resolução

KE = 7/10(0,3)(16) = 3,36J · h = 7v²/(10g) = 112/98 = 1,14 m
d = h/sin30° = 1,14/0,5 = 2,29 m

Resposta

d ≈ 2,29 m (bola sobe 40% mais que bloco deslizando!)

Insight

Bola sobe MAIS que bloco! Bloco: h=v²/2g=0,82m. Bola: h=7v²/10g=1,14m. A rotação "guarda" energia extra. Esfera 2/7 vai pra rotação, disco 1/3, anel 1/2.

8.11Roda com freio — tempo + W_atrito = ΔKE.▾

Enunciado

Roda I=60 kg·m², r=1,5m, ω=30 rev/s. Freio N=450N, μ=0,5. (a) Tempo? (b) W=ΔKE?

Resolução

Atrito: f=225N · τ=337,5 N·m · α=5,625 rad/s²
(a) t=60π/5,625 = 33,5 s
(b) KE=½(60)(60π)²=1,07×10⁶ J · W=τθ=337,5×(60π×33,5/2)=1,07×10⁶ J ✓

Resposta

(a) 33,5 s · (b) W = ΔKE ≈ 1,07 MJ ✓

8.12Motor 200hp → rodas: torque 10× maior em 1ª marcha!▾

Enunciado

Motor 200hp a 1400 rpm. Rodas giram a 0,1× vel. do motor. Torque nas rodas?

P = τω → τ = P/ω (gangorra!)

Potência é a mesma no motor e nas rodas (engrenagens não criam energia). ω_rodas = 0,1×ω_motor → τ_rodas = 10× τ_motor! É por isso que 1ª marcha tem muita força.

Resolução

P=149200W · ω_rodas = 140×2π/60 = 14,66 rad/s · τ = 149200/14,66 = 1,02×10⁴ N·m

Resposta

τ ≈ 1,02×10⁴ N·m

Insight

1ª marcha: ω baixo → τ alto (arranque). 5ª marcha: ω alto → τ baixo (estrada). Mesma potência! É a gangorra P=τω. É por isso que não se arranca em 5ª nem anda a 120km/h em 1ª.

8.13Bloco + polia com massa e atrito — τ=Iα + energia.▾

Enunciado

Bloco 4kg, polia I=0,5 kg·m², r=0,2m. Cai 9m em 3s. (a) τ_atrito? (b) v após 9m?

Resolução

(a) a=2m/s², α=10 rad/s² · T=m(g−a)=31,2N · Tr−τ=Iα → τ=6,24−5=1,24 N·m
(b) mgh=½mv²+½I(v/r)²+τθ · 352,8=8,25v²+55,8 → v²=36 → v=6,0 m/s

Resposta

(a) τ = 1,24 N·m · (b) v = 6,0 m/s

8.142 blocos + polia massiva — polia absorve 92% da energia!▾

Enunciado

m₁=2kg mesa sem atrito, m₂=5kg pendurado 0,8m. Polia I=0,8, r=0,1m. Velocidade?

3 termos de KE: bloco₁ + bloco₂ + polia

A polia tem I/r² = 80 — age como "massa efetiva" de 80 kg! Sem polia: v=3,35 m/s. Com polia: v=0,95 m/s. A polia absorve a maioria da energia.

Resolução

m₂gh = ½(m₁+m₂)v² + ½I(v/r)² · 39,2 = (3,5+40)v² = 43,5v² → v=0,95 m/s

Resposta

v ≈ 0,95 m/s

Insight

½I(v/r)² = 40v² domina! "Massa efetiva" da polia = I/r²=80kg >> m₁+m₂=7kg. A polia absorveu 92% da energia! É como ter um peso de 80kg invisível no sistema.

8.158.14 com atrito (μ=0,25) — polia domina tanto que atrito mal muda.▾

Enunciado

Mesmo que 8.14 com μ=0,25 entre m₁ e mesa.

Resolução

W_atrito = 0,25(2)(9,8)(0,8) = 3,92J · 39,2 = 43,5v²+3,92 → v²=0,811 → v=0,90 m/s

Resposta

v ≈ 0,90 m/s (vs 0,95 sem atrito — quase nada mudou porque a polia domina)

8.18Homem anda pro centro do carrossel — efeito patinadora!▾

Enunciado

Carrossel (disco, R=4m, M=100kg) + homem (80kg) na borda, ω=0,2 rev/s. Homem anda 2m pro centro. Novo ω?

Conservação L: I₁ω₁ = I₂ω₂

Sem torque externo → L se conserva. Homem anda pro centro → I diminui (r² diminui) → ω AUMENTA! É o efeito patinadora: braços pra dentro → gira mais rápido.

Resolução

I_disco: ½(100)(16)=800 (não muda)
Antes: I_h=80(16)=1280 · I_total=2080 · L=2080×0,2=416
Depois: I_h=80(4)=320 · I_total=1120 · ω=416/1120=0,37 rev/s

Resposta

ω ≈ 0,37 rev/s (quase dobrou!)

Insight

I caiu 46% → ω subiu 85%. KE aumentou! De onde veio? Do trabalho do homem ao andar contra a centrípeta. L se conserva, mas KE não! A energia extra veio dos músculos.

8.19Corda puxada pelo furo — r cai pela metade, ω quadruplica!▾

Enunciado

Massa 0,1kg gira (ω=1 rev/s, r=0,2m). Corda puxada até r=0,1m. (a) L? (b) KE_i? (c) ω novo? (d) KE_f? (e) Trabalho da mão?

L = mr²ω = constante → r↓ faz ω↑ drasticamente

L = mr²ω. Se r cai pela metade: ω deve quadruplicar (pra compensar r²). KE = L²/(2mr²): se r↓, KE↑. A energia extra vem do trabalho da mão puxando contra a centrípeta.

Resolução

(a) L = 0,1(0,04)(2π) = 2,51×10⁻² J·s
(b) KE_i = ½(0,1)(0,04)(4π²) = 7,9×10⁻² J
(c) L = mr²ω₂ → ω₂ = L/(mr²) = 2,51×10⁻²/(10⁻³) = 25,1 rad/s = 4 rev/s (quadruplicou!)
(d) KE_f = ½(0,1)(0,01)(25,1²) = 3,16×10⁻¹ J (quadruplicou!)
(e) W = KE_f−KE_i = 0,316−0,079 = 2,37×10⁻¹ J

Resposta

(a) 2,51×10⁻² J·s · (b) 7,9×10⁻² J · (c) 4 rev/s · (d) 3,16×10⁻¹ J · (e) 2,37×10⁻¹ J

Insight

r caiu pela metade → ω quadruplicou → KE quadruplicou! KE = L²/(2mr²) → ∝ 1/r². L se conserva, mas KE não! A energia extra vem do trabalho da mão puxando contra a centrípeta. Esse é o princípio que explica por que tornados aceleram ao contrair!