Capítulo 5 — Trabalho, Energia e Potência

00Antes de Começar — Por que Energia?

Newton vs Energia

Newton (cap.4): "Quais forças agem? Qual aceleração?" → resolve passo a passo, precisa conhecer o caminho.

Energia (cap.5): "Quanta energia no início? Quanta no final?" → pula pro resultado, ignora o caminho!

Analogia: Newton é como caminhar pela estrada — precisa de cada curva. Energia é como GPS com pedágio — só importa o início, o fim e quanto "pagou" de atrito.

Quando usar Energia?

Energia é MELHOR que Newton em:
• Pêndulos (caminho curvo)
• Montanhas-russas e loops
• Polias (elimina tensão)
• Problemas com "quanto sobe/desce?"
• Frenagem (distância de parada)

Newton é MELHOR em:
• Problemas que pedem FORÇAS (tensão, normal)
• Problemas com aceleração constante

O conceito central

Energia não se cria nem se destrói — apenas muda de forma. Cinética (movimento) ↔ Potencial (altura) ↔ Calor (atrito).

É como dinheiro: pode estar na carteira (KE), no banco (PE) ou gasto (calor). O total sempre bate!

Pré-requisitos

• Newton (cap.4): forças, atrito f=μN, plano inclinado
• Cinemática (cap.3): v, a, equações de movimento
• Trigonometria: sin/cos pra alturas em rampas

01Trabalho — Transferência de Energia

Definição

W = F × d × cosθ

Trabalho = energia transferida por uma força ao longo de um deslocamento.

Se F é paralela a d: W = Fd (caso mais simples).
Se F é perpendicular a d: W = 0 (não transfere energia).
Unidade: Joule (J) = N·m.

Analogia: empurrar uma caixa ao longo de um corredor = trabalho. Segurar a caixa parado = ZERO trabalho (d=0)!

Força Variável: Área sob o gráfico

W = área sob F × x

Se F muda com a posição, W = Fd não vale. O trabalho é a área sob o gráfico F vs x. Divida em formas simples: retângulos + triângulos.

Trabalho do Atrito

W_atrito = f × d = μmgcosθ × d

O atrito faz trabalho negativo (contra o movimento). Converte energia mecânica em calor. Na equação mestra, W_atrito é sempre positivo (é a energia "perdida").

02As Duas Energias

Energia Cinética (KE)

KE = ½mv²

Energia do MOVIMENTO. Depende de v² — dobrar a velocidade quadruplica a energia! É por isso que alta velocidade é tão perigosa.

KE = 0 quando parado. KE é sempre ≥ 0 (nunca negativa).

Energia Potencial Gravitacional (PE)

PE = mgh

Energia da POSIÇÃO (altura). Quanto mais alto, mais PE armazenada. É energia "guardada" que pode virar KE quando o objeto descer.

A referência h=0 é arbitrária — escolha onde for mais conveniente (geralmente o ponto mais baixo).

Analogia: PE é como dinheiro no banco — guardado mas disponível. KE é dinheiro na mão — sendo usado.

Teorema Trabalho-Energia

W_resultante = ΔKE = ½mv² − ½mv₀²

O trabalho da resultante = variação de KE. Vem de F=ma + Torricelli. É a ponte entre Newton e Energia.

03Conservação de Energia

Sem atrito: energia total constante

½mv₁² + mgh₁ = ½mv₂² + mgh₂

A massa SEMPRE cancela! Divida tudo por m logo no início: ½v₁² + gh₁ = ½v₂² + gh₂.

O caminho NÃO importa! Só importam alturas e velocidades nos pontos inicial e final. Pêndulo, montanha-russa, rampa — tudo a mesma equação.

A Equação Mestra (COM atrito)

KE_i + PE_i = KE_f + PE_f + W_atrito "Energia início = Energia fim + Pedágio"

O atrito é um "pedágio": cobra uma taxa (f×d) sobre a energia disponível. O que sobra é o que chega no destino.

W_atrito é sempre positivo na equação (sempre consome). A direção do atrito não importa aqui — simplifica vs Newton!

Pra onde vai a energia?

Cenário	Destino do trabalho
Sem atrito, horizontal	100% → KE
Com atrito, v constante	100% → calor
Rampa sem atrito	KE ↔ PE
Rampa com atrito	KE + PE + calor

04Fórmulas Especiais

Frenagem: d = v²/(2μg)

Massa cancela! Carro e caminhão freiam na mesma distância (se mesmo v e μ). d ∝ v² — dobrar v quadruplica d. É a fórmula mais importante pra segurança no trânsito.

Conversão v ↔ h: h = v²/(2g)

Um carro a 90 km/h tem a mesma energia que se caísse de 31,9 m (prédio de 10 andares!). Massa cancela também.

Pêndulo: h = L(1−cosθ)

v_base = √(2gL(1−cosθ))

Teste: θ=0° → h=0 ✓ · θ=90° → h=L ✓. O ponto mais baixo é sempre o mais rápido. Newton seria impossível aqui (caminho curvo) — energia resolve em uma linha!

Projétil — Altura máxima

h_max = v₀²sin²θ/(2g)

No topo, v≠0! Sobra vₓ=v₀cosθ. Só a parcela vertical da KE vira PE. A 90°: toda KE → PE. A 45°: metade.

05Potência — Quão rápido?

Definição

P = W/t = Fv

Trabalho diz QUANTO. Potência diz QUÃO RÁPIDO.

P = W/t (quando sabe trabalho e tempo).
P = Fv (quando sabe força e velocidade, geralmente v constante).

1 W = 1 J/s · 1 hp = 746 W · km/h → m/s: ÷ 3,6

Casos especiais

Elevar objeto: P = mgh/t
Bomba d'água: P = (mgh + ½mv²)/t → ergue + ejeta
Carro no plano: P = f_res × v → revela f_res!
Carro no morro: P = (f_res + mg sinθ) × v
Achar força: F = P/v (invertida)

Gangorra F × v

P = Fv = constante. Se P é fixa:
• Mais F → menos v (1ª marcha: arrancar)
• Menos F → mais v (5ª marcha: estrada)

É assim que marchas/engrenagens funcionam! Mesma potência do motor, diferentes combinações de F e v.

06Macetes e Fluxo de Resolução

v constante = Mina de Ouro

a=0 → equilíbrio → F=f → W=fd. Toda energia vira calor. No plano: μ=tanθ. Revela atrito, tensão ou força.

Massa quase sempre cancela

Em conservação pura, frenagem (d=v²/2μg), conversão v↔h (h=v²/2g). Se NÃO cancela: tem forças externas ou massas diferentes.

Múltiplas fases

v_final de uma fase = v₀ da próxima. Identifique onde muda: força aplicada/removida, corda frouxa, superfície muda. d_total = soma das fases!

Fluxograma

Pede potência? → P=W/t ou P=Fv
Tem atrito? → KE+PE = KE+PE + fd
Sem atrito? → KE+PE = KE+PE (conservação pura)

Quer v? → isole v na KE. Quer d? → isole no W_atrito. Quer μ? → isole no f=μN.

5.4Força variável F=0,2x — trabalho = área sob o gráfico.▾

Enunciado

Para x<10m: F=0,2x N. Para x>10m: F=2N constante. Trabalho de x=0 a x=15m?

Trabalho = área sob F×x

Força variável → não pode usar W=Fd. O trabalho é a área sob o gráfico. Trecho 1 (0→10): triângulo. Trecho 2 (10→15): retângulo.

Resolução

W₁ = ½×10×2 = 10 J (triângulo) · W₂ = 2×5 = 10 J (retângulo) · W = 20 J

Resposta

W = 20 J

5.5Trenó com v constante — 100% do trabalho vira calor.▾

Enunciado

Trenó 15kg, v constante, 30m na neve, μ=0,1. Trabalho?

Resolução

v constante → F=f=μmg=0,1(15)(9,8)=14,7N · W=14,7×30 = 441 J (tudo virou calor!)

Resposta

W = 441 J (100% → calor, ΔKE=0)

5.6Caixa empurrada 5m rampa acima — W = PE + calor.▾

Enunciado

Caixa 40kg, rampa 37°, μ=0,25, v constante, d=5m. Trabalho?

Trabalho = elevar + vencer atrito

O trabalho se divide em duas tarefas: elevar (mgh = PE, recuperável!) + vencer atrito (fd = calor, perdido!).

Resolução

h = 5sin37°=3,01m · PE = 40(9,8)(3,01) = 1180 J (75%)
f = 0,25(40)(9,8)cos37° = 78,3N · W_atrito = 78,3×5 = 392 J (25%)
W = 1180+392 = 1571 J

Resposta

W ≈ 1571 J (75% PE + 25% calor)

5.7Frenagem: d = v²/(2μg) — massa cancela, v² domina!▾

Enunciado

Carro a 30 m/s, μ=0,7. Distância de parada?

Toda KE vira calor: ½mv² = μmgd

Massa cancela! d = v²/(2μg). Carro e caminhão freiam na mesma distância. d ∝ v² — dobrar v quadruplica d. 30→60 km/h: d vai de 65 pra 262 m!

Resolução

d = 900/(2×0,7×9,8) = 900/13,72 = 65,6 m

Resposta

d ≈ 65,6 m

5.8Conta no fio curvo — caminho não importa!▾

Enunciado

Conta com v₀=2m/s no ponto A (h=0,7m) sem atrito. Velocidades em B (h=0) e C (h=0,3m)?

½v²+gh = constante (massa cancelou!)

Sem atrito → energia total constante. O caminho não importa! Pode pular de A direto pra C. Ponto mais baixo = mais rápido.

Resolução

E_total = ½(4)+9,8(0,7) = 2+6,86 = 8,86 J/kg
B: ½v²=8,86 → v=√17,72 = 4,21 m/s · C: ½v²=8,86−2,94=5,92 → v=√11,84 = 3,44 m/s

Resposta

v_B ≈ 4,21 m/s · v_C ≈ 3,44 m/s

5.9F=20N sem atrito — W=ΔKE demonstrado por Newton.▾

Enunciado

F=20N puxa bloco 10kg sem atrito por 5m. (a) Trabalho? (b) Provar ΔKE=W.

Resolução

(a) W=20×5=100 J (100% → KE)
(b) a=2m/s² → v²=20 → ΔKE=½(10)(20)=100 J = W ✓
Prova geral: F=ma + v²=v₀²+2ad → Fd = ½mv²−½mv₀² → W=ΔKE

Resposta

W = ΔKE = 100 J ✓

5.10Carro a 90 km/h = queda de 10 andares!▾

Enunciado

Automóvel a 90 km/h. De que altura cairia pra ter essa velocidade?

Resolução

v=25 m/s · h = v²/(2g) = 625/19,6 = 31,9 m ≈ prédio de 10 andares!

Resposta

h ≈ 31,9 m

Insight

30km/h→3,5m (1 andar) · 60km/h→14m (5 andares) · 120km/h→57m (18 andares). h ∝ v² — dobrar v quadruplica h e a energia.

5.11Projétil 80 m/s a 37° — no topo v≠0!▾

Enunciado

Projétil v₀=80m/s a 37°. Altura máxima por energia?

Resolução

No topo: v=v₀cos37° (horizontal intocada!) · h=v₀²sin²37°/(2g) = 6400×0,362/19,6 = 118,3 m

Resposta

h ≈ 118,3 m (só 36% da KE virou PE — os 64% restantes são KE horizontal)

5.12Pêndulo L=1,5m, θ=30° — h=L(1−cosθ).▾

Enunciado

Pêndulo L=1,5m. Solto de 30°. Velocidade na base?

h = L(1−cosθ) — fórmula de ouro do pêndulo!

Teste: θ=0°→h=0 ✓ (já está embaixo). θ=90°→h=L ✓ (horizontal). Newton seria impossível aqui (caminho curvo) — energia resolve em uma linha!

Resolução

h = 1,5(1−cos30°) = 1,5×0,134 = 0,201 m · v = √(2×9,8×0,201) = 1,98 m/s

Resposta

v ≈ 1,98 m/s

5.13Polia m₁=3kg, m₂=5kg — KE = ½(m₁+m₂)v² (ambos se movem!).▾

Enunciado

m₁=3kg, m₂=5kg na polia, m₂ a 6m do chão. (a) v quando m₂ chega? (b) Altura final de m₁?

Some a KE de TUDO que se move!

Ambos se movem com v → KE = ½m₁v² + ½m₂v² = ½(m₁+m₂)v². Quando m₂ bate no chão, corda frouxa → m₁ continua sozinha por inércia!

Resolução

(a) (m₂−m₁)gh = ½(m₁+m₂)v² → v = √(2(2)(9,8)(6)/8) = 5,42 m/s
(b) m₁ continua: h = 6 + v²/(2g) = 6+1,5 = 7,5 m

Resposta

(a) 5,42 m/s · (b) 7,5 m

5.14Caixa desce rampa — com vs sem atrito.▾

Enunciado

Caixa 40kg desliza 5m na rampa 37°. Velocidade sem e com atrito (μ=0,2)?

Resolução

h=5sin37°=3,01m
Sem atrito: v=√(2gh)=√59=7,68 m/s
Com atrito: mgh=½mv²+fd → v=√(2gd(sinθ−μcosθ))=6,58 m/s

Resposta

Sem: 7,68 m/s · Com: 6,58 m/s (atrito roubou 27% da KE, mas v caiu só 14% — proteção quadrática!)

5.15Bloco para na base — energia como "detetive" do atrito.▾

Enunciado

Bloco 5kg no topo de prancha 25°, 4m. v₀=2m/s, para na base. μ?

Toda energia sumiu → atrito comeu tudo!

KE_i + PE_i = W_atrito (porque KE_f=0, PE_f=0). Sabendo quanta energia sumiu, descobre μ. μ > tan25° confirma: atrito segura sem empurrão.

Resolução

KE=10J + PE=82,81J = 92,81J = μmgcos25°×4 = μ×177,8 → μ ≈ 0,52

Resposta

μ ≈ 0,52 (> tan25°=0,47 → seguraria parado sem empurrão)

5.163 fases: empurra 10m, solta, desce tudo — atrito inverte!▾

Enunciado

F=60N, bloco 6kg, rampa 30°, μ=0,25. (a) v após 10m? (b) Quanto mais sobe? (c) v ao descer tudo?

3 fases — v_final de uma = v₀ da próxima

F1: F empurra (W_F→KE+PE+calor). F2: sobe por inércia (KE→PE+calor). F3: desce tudo (PE→KE+calor, atrito INVERTE!). Na energia, W_atrito é sempre positivo — mais simples que Newton.

Resolução

N=50,92N · f=12,73N
(a) 600 = 3v²+294+127,3 → v=7,72 m/s
(b) 178,7 = d₂(29,4+12,73) → d₂=4,24 m
(c) d=14,24m, h=7,12m: mgh=½mv²+f×14,24 → v=8,90 m/s

Resposta

(a) 7,72 m/s · (b) 4,24 m · (c) 8,90 m/s

Insight

Dos 600J injetados: 237J→KE (40%) + 363J→calor (60%). O atrito comeu a maioria! v_final (8,90) > v_meio (7,72) porque desce de mais alto (14,24m vs 10m).

5.17Haste rígida gira em círculo com atrito — arco = ¾×2πL.▾

Enunciado

Haste L=2m, massa 5kg, atrito médio 12N. Mal chega ao topo. (a) v₀? (b) v na base?

Haste rígida: v=0 no topo é OK (segura!)

Diferente de corda (precisa de v_min). Atrito em arco: W = f × comprimento do arco. Início→topo: arco = ¾(2πL) = 3π m.

Resolução

(a) ½(5)v₀²= 98+12(3π)=211,1 → v₀=9,19 m/s
(b) ½(5)v²=211,1+98−12π=271,4 → v=10,42 m/s (mais rápido na base!)

Resposta

(a) 9,19 m/s · (b) 10,42 m/s

5.18Polia + atrito + 2 fases — KE se divide na desconexão!▾

Enunciado

m₁=3kg mesa (μ=0,3), m₂=5kg pendurado 2m. (a) v quando m₂ chega? (b) d_total de m₁?

Fase 1: conectados. Fase 2: m₁ sozinho

Na desconexão: KE_m₁ = ½m₁v² continua (alimenta Fase 2). KE_m₂ = ½m₂v² se perde (bateu no chão). Só a KE de m₁ importa na Fase 2!

Resolução

(a) 98 = 4v²+17,64 → v=4,48 m/s
(b) KE_m₁=½(3)(20,09)=30,14J · 30,14=8,82×d₂ → d₂=3,42m · d_total=2+3,42=5,42 m

Resposta

(a) 4,48 m/s · (b) d_total ≈ 5,42 m

5.19Homem sobe escada — P = mgh/t.▾

Enunciado

Homem 80kg sobe escada 4m em 12s. Potência em hp?

Resolução

W=80(9,8)(4)=3136J · P=3136/12=261W · P=261/746=0,35 hp

Resposta

P ≈ 261 W ≈ 0,35 hp

5.20Elevador 800kg sobe 10m em 5s — P=Fv também funciona!▾

Enunciado

Elevador 800kg, 10m, 5s. Potência em W e hp?

Resolução

P=mgh/t=78400/5=15680 W = 15,7 kW = 15680/746 = 21 hp
Alternativa: v=10/5=2m/s → P=mgv=7840×2=15680 ✓ (mesma coisa!)

Resposta

P = 15680 W ≈ 15,7 kW ≈ 21 hp

5.21Teleférico: 20 pessoas sobem rampa 20° — P=Fv mais rápido!▾

Enunciado

Rampa 1000m, 20°, v=3m/s, 20 pessoas de 600N cada. Potência?

Resolução

W_total=20×600=12000N (já é peso, NÃO ×g!) · F=12000sin20°=4104N · P=4104×3=12312 W ≈ 1,23×10⁴ W

Resposta

P ≈ 1,23×10⁴ W ≈ 16,5 hp

Cuidado!

O enunciado dá peso (600 N), NÃO massa! Não multiplique por g de novo. Peso já é força.

5.22Pistão a vapor: F = P/v — potência invertida.▾

Enunciado

Pistão: 120 cursos/min, 0,5m/curso, P=150kW. Força média?

Gangorra F×v: muita F + pouca v OU pouca F + muita v

P=Fv → F=P/v. Mesma potência pode ser: pistão (F enorme, v baixa) ou turbina (F baixa, v alta). É o princípio das marchas: 1ª=muita F, 5ª=muita v.

Resolução

v = 120×0,5/60 = 1 m/s · F = 150000/1 = 150000 N = 150 kN (peso de 15 carros!)

Resposta

F = 150 kN

5.23Bomba d'água — duas tarefas: erguer (PE) + ejetar (KE).▾

Enunciado

Bomba ergue 100kg/min de poço 30m, ejeta com 5m/s. Potência?

P = (PE + KE)/t — duas tarefas!

A bomba ergue (PE=mgh) E ejeta (KE=½mv²). Geralmente PE domina (96% aqui). KE só importa com velocidades altas.

Resolução

W_PE=100(9,8)(30)=29400J (96%) · W_KE=½(100)(25)=1250J (4%) · P=30650/60=510,8 W

Resposta

P ≈ 510,8 W

5.24Carro: 30kW no plano revela f_res → potência no morro 15°.▾

Enunciado

Carro 2500kg, 30kW pra v constante a 90km/h no plano. Potência pra morro 15°?

Dados no plano = dica disfarçada pra achar f_res!

No plano: P=f_res×v → f_res=P/v=30000/25=1200N. No morro: P=(f_res + mg sinθ)×v. A gravidade (6341N) domina — 5× mais que o ar (1200N)!

Resolução

f_res = 30000/25 = 1200N · mg sin15° = 24500×0,259 = 6341N
P = (1200+6341)×25 = 188525 W ≈ 1,88×10⁵ W ≈ 253 hp

Resposta

P ≈ 1,88×10⁵ W (6,3× mais que no plano!)

Insight

No morro, 84% da potência vai pra ELEVAR o carro. O ar/atrito é quase irrelevante (16%). É por isso que caminhões perdem velocidade em ladeiras — o motor não tem potência suficiente pra manter 90km/h subindo.