Capítulo 2 — Vetores

00Antes de Começar — Por que Vetores?

Escalar vs Vetor

Algumas grandezas são só um número: temperatura (30°C), massa (5 kg). São escalares.

Outras precisam de direção: "ande 5 km" — pra onde? Velocidade, força, aceleração são vetores = número + direção. É uma "seta" no espaço.

Analogia: GPS vs Velocímetro

Velocímetro = escalar (60 km/h, sem direção).
GPS = vetor (60 km/h pro nordeste).

Na física, quase sempre precisamos do "GPS". Por isso vetores são a linguagem da física!

Pré-requisitos

• Pitágoras: a² + b² = c²
• Trigonometria: sen, cos, tan, arctan
• Plano cartesiano: eixos x (horizontal) e y (vertical)
• Quadrantes: 4 regiões do plano (I a IV)

O que vamos aprender

1. Representar vetores com î e ĵ
2. Somar e subtrair vetores
3. Magnitude (tamanho) e ângulo
4. Dot product — "quanto colaboram?"
5. Cross product — "quanto são perpendiculares?"

Esses conceitos voltam em todos os capítulos!

01Componentes — A linguagem dos vetores

Definição de Vetor

Um vetor tem 3 propriedades:
• Magnitude: comprimento da seta
• Direção: pra onde aponta
• Sentido: pra que lado na direção

Escrevemos: A→ ou em negrito: A.

Componentes î e ĵ

A→ = Aₓ î + Aᵧ ĵ

î = "ande 1 pra direita" (eixo x)
ĵ = "ande 1 pra cima" (eixo y)

A→ = 3î + 4ĵ → "3 pra direita, 4 pra cima"
−2î → "2 pra ESQUERDA" (negativo = oposto)
−5ĵ → "5 pra BAIXO"

É como dar instruções no Maps: tantos quarteirões pro leste, depois tantos pro norte.

3D: adicione k̂

A→ = Aₓ î + Aᵧ ĵ + A_z k̂

k̂ = eixo z ("saindo da tela"). Mesmas regras, mais uma coordenada.

⚠️ Erro: sinal ≠ magnitude negativa

A→ = −3î + 4ĵ → o −3 indica direção (esquerda), NÃO magnitude negativa. |A→| é sempre ≥ 0. Nunca escreva |A→| = −5!

02Soma e Subtração

Soma: componente a componente

R→ = A→ + B→ Rₓ = Aₓ + Bₓ (x com x!) Rᵧ = Aᵧ + Bᵧ (y com y!)

Analogia: somar contas do mercado por categoria. Frutas com frutas, verduras com verduras. X com X, Y com Y. Nunca misture!

Isolar um vetor

A→ + B→ + C→ = R→ C→ = R→ − A→ − B→

Mesma lógica de 2+3+x=10 → x=5. Subtrai componente a componente. Cuidado: subtrair (−3) = somar +3!

Visualizando: método ponta-rabo

Coloque a ponta de A→ no rabo de B→. A resultante vai do rabo de A→ até a ponta de B→. É o "atalho" de dois passos seguidos.

03Magnitude e Ângulo

Magnitude = Pitágoras

|A→| = √(Aₓ² + Aᵧ²)

Se anda 3 pra direita e 4 pra cima, a distância em linha reta é √(9+16) = 5. As componentes são catetos, a magnitude é a hipotenusa.

Ângulo: 2 passos!

1. α = arctan(|Aᵧ|/|Aₓ|) 2. Ajustar pelo quadrante

α é o ângulo de referência (0° a 90°). Use valores absolutos! Depois olhe os sinais pra saber o quadrante.

Regra dos Quadrantes

1º (+,+): θ = α
2º (−,+): θ = 180° − α
3º (−,−): θ = 180° + α
4º (+,−): θ = 360° − α

⚠️ A calculadora NÃO sabe o quadrante! Sempre verifique os sinais de Aₓ e Aᵧ.

04Produto Escalar (Dot Product)

O que mede?

"Quanto dois vetores apontam na mesma direção?" É como empurrar um carrinho: se empurra na direção certa (0°), é eficiente. De lado (90°), não adianta. Contra (180°), atrapalha.

Duas fórmulas (mesma coisa!)

Com ângulo: A→·B→ = |A||B|cosθ Componentes: A→·B→ = AₓBₓ + AᵧBᵧ + AᵤBᵤ

Resultado = número (escalar), NÃO vetor! Positivo → apontam juntos. Zero → perpendiculares. Negativo → se opõem.

Achar ângulo entre vetores

cosθ = (A→·B→) / (|A→||B→|) θ = arccos(...)

Fluxo: dot por componentes → magnitudes por Pitágoras → dividir → arccos. O arccos já dá o ângulo certo (0° a 180°)!

Teste de perpendicularidade

A→·B→ = 0 ⟺ perpendiculares! Basta multiplicar e somar componentes. Se der zero: perpendiculares. Sem calcular ângulo!

05Produto Vetorial (Cross Product)

O que mede?

"Área do paralelogramo formado pelos vetores." Resultado = vetor perpendicular a ambos (sai do plano). Aparece em torque (cap.8) e campo magnético.

Magnitude

|A→ × B→| = |A||B| sinθ

Paralelos (0°/180°): sin=0 → cross=0. Perpendiculares (90°): sin=1 → cross máximo. Oposto do dot!

Cálculo: determinante 3×3

Sinais: +î(...) −ĵ(...) +k̂(...) ⚠️ O ĵ do meio é NEGATIVO! Erro #1 mais comum.

Cada (...) é um determinante 2×2: ad − bc. Regra: "diagonal principal menos diagonal secundária".

Conferir: (A×B)·A = 0 e (A×B)·B = 0. Se algum ≠ 0, errou um sinal!

06Dot vs Cross — Resumo Comparativo

Tabela Comparativa

	Dot (·)	Cross (×)
Usa	cos θ	sin θ
Resultado	Escalar (número)	Vetor
Máximo	Paralelos (0°)	Perpendiculares (90°)
Zero	Perpendiculares (90°)	Paralelos (0°/180°)
Mede	"Alinhamento"	"Perpendicularidade"

Complementares: quando um é máximo, o outro é zero. cos²θ + sin²θ = 1.

Exemplo (|A|=3, |B|=4)

θ	Dot	\|Cross\|
0° (paralelos)	+12 máx	0
30°	+10,39	6
90° (perpend.)	0	12 máx
150°	−10,39	6
180° (opostos)	−12 mín	0

07Fluxos de Resolução e Conexões

Fluxo: Soma de vetores

1. Identificar componentes x e y
2. Somar x com x, y com y
3. Magnitude: √(Rₓ²+Rᵧ²)
4. α = arctan(|Rᵧ|/|Rₓ|)
5. Quadrante → θ final

Fluxo: Ângulo entre vetores

1. Dot por componentes
2. Magnitudes por Pitágoras
3. cosθ = dot/(|A|×|B|)
4. θ = arccos(...) → já correto!

Fluxo: Cross product

1. Montar determinante 3×3
2. Expandir: +î −ĵ +k̂
3. Cada det 2×2: ad−bc
4. Conferir: dot com A e B = 0

Onde vetores aparecem depois

Cap.3: Velocidade/aceleração decompostas em x,y
Cap.4: Forças → ΣF→ = ma→
Cap.6: Momento conserva em cada eixo
Cap.7: Torque = cross product

Este capítulo é a base de tudo!

2.10Resultante de três vetores — soma, magnitude e ângulo.▾

Enunciado

Qual é a magnitude e o ângulo da resultante de A = 2î + 3ĵ, B = 4î − 2ĵ e C = −î + ĵ?

O que é "resultante"?

"Resultante" = vetor soma = o "atalho". Imagine 3 passos seguidos: A→ diz "2 pra direita, 3 pra cima", B→ diz "4 pra direita, 2 pra baixo", C→ diz "1 pra esquerda, 1 pra cima". Onde você chega no final?

Resolução

Passo 1 — Somar (x com x, y com y):
Rₓ = 2 + 4 + (−1) = 5 · Rᵧ = 3 + (−2) + 1 = 2
R→ = 5î + 2ĵ → "5 pra direita e 2 pra cima"

Passo 2 — Magnitude (Pitágoras):
|R→| = √(25+4) = √29 ≈ 5,39

Passo 3 — Ângulo:
α = arctan(2/5) ≈ 21,8° · Sinais: (+,+) → 1º quadrante → θ = 21,8°

Resposta

|R→| ≈ 5,39 · θ ≈ 21,8°

Macete

Nunca some magnitudes diretamente! |A→+B→| ≠ |A→|+|B→|. Soma vetorial é SEMPRE componente a componente.

2.11Isolar vetor C da soma — regra dos quadrantes!▾

Enunciado

A+B+C=R. A = 2î−3ĵ, B = −î+2ĵ, R = −2î+3ĵ. Componentes, magnitude e ângulo de C?

Isolar variável vetorial

C→ = R→ − A→ − B→. Subtraia componente a componente. Cuidado com sinais duplos: subtrair (−3) = somar +3!

Resolução

Componentes:
Cₓ = (−2) − 2 − (−1) = −2−2+1 = −3
Cᵧ = 3 − (−3) − 2 = 3+3−2 = 4
C→ = −3î + 4ĵ

Magnitude: |C→| = √(9+16) = 5

Ângulo: α = arctan(4/3) ≈ 53,1°
Sinais: (−,+) → 2º quadrante → θ = 180°−53,1° = 126,9°

Resposta

C→ = −3î+4ĵ · |C→| = 5 · θ ≈ 126,9°

Insight

A calculadora daria arctan(4/−3) = −53,1°. Mas o vetor está no 2º quadrante, não no 4º! O arctan NÃO sabe o quadrante — você precisa olhar os sinais. Esse é o conceito mais importante!

2.12Isolar C — resultado no 3º quadrante.▾

Enunciado

Resultante de A, B e C é 2î+ĵ. A=6î−3ĵ, B=2î+5ĵ. Encontre C.

Resolução

Cₓ = 2−6−2 = −6 · Cᵧ = 1+3−5 = −1 · C→ = −6î−ĵ
|C→| = √(36+1) = √37 ≈ 6,08
α = arctan(1/6) ≈ 9,5° · (−,−) → 3º quad → θ = 180°+9,5° = 189,5°

Resposta

C→ = −6î−ĵ · |C→| ≈ 6,08 · θ ≈ 189,5°

Insight

189,5° ≈ 180° (pura esquerda) com leve descida. Faz sentido: −6î (muito esquerda) −ĵ (pouquinho baixo).

2.13Dot e Cross com 30° — conceitos novos!▾

Enunciado

|A|=3m, |B|=4m, separados por 30°. Encontre A·B e |A×B|.

Primeiro contato com dot e cross

Dot → cos → "colaboração": quanto apontam na mesma direção?
Cross → sin → "área/separação": quanto são perpendiculares?

Resultado do dot = número. Resultado do cross = vetor. São complementares!

Resolução

Dot: |A||B|cos30° = 12×(√3/2) = 6√3 ≈ 10,39
|Cross|: |A||B|sin30° = 12×0,5 = 6

Resposta

A·B ≈ 10,39 · |A×B| = 6

2.14Dot e Cross com 150° — dot fica negativo!▾

Enunciado

Mesmos vetores do 2.13, agora separados por 150°.

150° ≈ opostos → dot negativo

cos150° = −cos30° = −0,866 (negativo! Se opõem).
sin150° = sin30° = 0,5 (mesmo valor! Mesma "área").

Resolução

Dot: 12×(−0,866) = −10,39
|Cross|: 12×0,5 = 6 (mesmo que 30°!)

Resposta

A·B ≈ −10,39 · |A×B| = 6

Insight

sin30° = sin150° → cross igual! O "paralelogramo" tem mesma área espelhado. Mas dot inverteu: 30° colaboram (+10,39), 150° se opõem (−10,39).

2.15Verificar perpendicularidade: dot = 0?▾

Enunciado

A = 2î−6ĵ+3k̂ e B = î+2ĵ+2k̂. São perpendiculares?

Resolução

A·B = (2)(1) + (−6)(2) + (3)(2) = 2−12+6 = −4 ≠ 0

Não são perpendiculares! θ = arccos(−4/(7×3)) = arccos(−0,190) ≈ 101°. Perto de 90° mas não exatamente.

Resposta

Dot = −4 ≠ 0 → NÃO perpendiculares (θ ≈ 101°)

Macete rápido

Dot > 0 → ângulo agudo. Dot = 0 → reto. Dot < 0 → obtuso. O sinal já revela o tipo de ângulo sem precisar de arccos!

2.16Ângulo entre dois vetores 3D pelo dot.▾

Enunciado

Ângulo entre A = 2î+3ĵ−k̂ e B = −î+2ĵ+k̂?

Resolução

Dot: (2)(−1)+(3)(2)+(−1)(1) = −2+6−1 = 3 (positivo → agudo!)
|A| = √(4+9+1) = √14 · |B| = √(1+4+1) = √6
cosθ = 3/(√14×√6) = 3/√84 = 0,327
θ = arccos(0,327) ≈ 70,9°

Resposta

θ ≈ 70,9°

2.17Cross product 3D — determinante com sinais +−+.▾

Enunciado

A = î−2ĵ−k̂ e B = 2î+ĵ−k̂. Encontre A×B, magnitude e ângulo.

Determinante 3×3 com sinais +−+

Monte: linha1 = î ĵ k̂, linha2 = A, linha3 = B. Expanda pela 1ª linha com +î −ĵ +k̂. O ĵ é NEGATIVO — erro #1! Depois confira: (A×B)·A deve dar zero.

Resolução

+î: (−2)(−1)−(−1)(1) = 2+1 = 3
−ĵ: −[(1)(−1)−(−1)(2)] = −[−1+2] = −1
+k̂: (1)(1)−(−2)(2) = 1+4 = 5

A×B = 3î − ĵ + 5k̂

Verificação:
(A×B)·A = 3(1)+(−1)(−2)+5(−1) = 3+2−5 = 0 ✓
(A×B)·B = 3(2)+(−1)(1)+5(−1) = 6−1−5 = 0 ✓

|A×B| = √(9+1+25) = √35 ≈ 5,92
|A|=√6 · |B|=√6 · sinθ = 5,92/6 ≈ 0,987 → θ ≈ 80,7°

Resposta

A×B = 3î−ĵ+5k̂ · |A×B| ≈ 5,92 · θ ≈ 80,7°

2.18Cross product — prática extra.▾

Enunciado

A = 3î−2ĵ+k̂ e B = î+ĵ−2k̂. Encontre A×B, magnitude e ângulo.

Resolução

+î: (−2)(−2)−(1)(1) = 4−1 = 3
−ĵ: −[(3)(−2)−(1)(1)] = −[−7] = +7
+k̂: (3)(1)−(−2)(1) = 3+2 = 5

A×B = 3î + 7ĵ + 5k̂
Verificação: (A×B)·A = 9−14+5 = 0 ✓ · (A×B)·B = 3+7−10 = 0 ✓

|A×B| = √(9+49+25) = √83 ≈ 9,11
|A|=√14 · |B|=√6 · sinθ = 9,11/√84 ≈ 0,993 → θ ≈ 83,4°

Resposta

A×B = 3î+7ĵ+5k̂ · |A×B| ≈ 9,11 · θ ≈ 83,4°

2.19Ângulo entre vetores 2D — dot negativo = obtuso!▾

Enunciado

Ângulo entre A = 4î+3ĵ e B = −2î+ĵ?

Resolução

Dot: (4)(−2)+(3)(1) = −8+3 = −5 (negativo → obtuso!)
|A| = 5 · |B| = √5 ≈ 2,24
cosθ = −5/(5×2,24) = −0,447 → θ = arccos(−0,447) ≈ 116,6°

Resposta

θ ≈ 116,6°

Insight

Dot = −5 (negativo) → já sabia que θ > 90° antes de calcular! O sinal do dot é um termômetro: + = agudo, 0 = reto, − = obtuso.

2.20Exercício completo — dot, cross, ângulo e verificação!▾

Enunciado

A = î+2ĵ−k̂ e B = −2î+3ĵ+k̂. (a) A·B, (b) A×B, (c) ângulo, (d) verificar ⊥.

"Prova final" do capítulo!

Este exercício usa tudo: dot por componentes, cross por determinante, ângulo por arccos, e verificação de perpendicularidade. Se entender este, domina o capítulo.

Resolução

(a) Dot: (1)(−2)+(2)(3)+(−1)(1) = −2+6−1 = 3

(b) Cross (+−+):
î: (2)(1)−(−1)(3) = 2+3 = 5
ĵ: −[(1)(1)−(−1)(−2)] = −[1−2] = 1
k̂: (1)(3)−(2)(−2) = 3+4 = 7
A×B = 5î+ĵ+7k̂

(c) Ângulo: |A|=√6 · |B|=√14
cosθ = 3/√84 = 0,327 → θ ≈ 70,9°

(d) Verificação:
(A×B)·A = 5+2−7 = 0 ✓
(A×B)·B = −10+3+7 = 0 ✓ → Perpendicular a ambos!

Resposta

(a) 3 · (b) 5î+ĵ+7k̂ · (c) 70,9° · (d) ⊥ confirmado ✓

Resumo do capítulo

4 habilidades essenciais:
• Somar vetores: componente a componente
• Magnitude: Pitágoras · Ângulo: arctan + quadrante
• Dot = cosθ = "alinhamento" (zero → ⊥)
• Cross = sinθ = "separação" (resultado ⊥ ambos)